Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

А = -

2 - W -

1

z ( z 4 - l ) '

Д л я

нахождения вычета

на со разложим функцию

, ,

:•

в ряд

Л о р а н а по степеням

z па

со

z(z

-\-\)

D

1

В

разложении

отсутствует член с

— ,

поэтому

'[z(z*~ 1

= 0 ,

что подтверждает

и

ранее полученный ре-

4 1 ) '

1

1

\г+т

-

т

В круге

^

1

центром

в точке

1

1

<-i=j- с

2 = — р а д и у с а — на­

ходится лишь

одна

особая

точка подынтегральной

функции

1

2 = — — , я в л я ю щ а я с я

полюсом

2-го порядка,

поэтому

1

1

1

.. /

1

( 2 2 + 1 ) г

( 2 2 + 2 ) '

2

—

lim

î

^+2

4

\z

1 ..

- 2 г

4

== —-

lim

. ., ,

81

4

Z~*

^(z J

- | - 2) 2

2

B=2rU • r

1

1

о • 4

8 .

( 2 z + l ) V 4 2 ) '

2

2г.

I—

\R(s\nx,

cosx)dx.

о

Будем предполагать,

что

подннтегралыіая

рациональная

функция A4sin X, cos х) непрерывна

на [0, 2л.]. Преобразуем отре­

зок [0, 2 л ] действительной

оси в окружность

радиуса 1. Дл я это­

го положим z=

еіх.

Если X пробегает отрезок [0. 2 л ] ,

то точка

2 = е ' х

пробежит

на комплексной

плоскости

о к р у ж н о с т ь \ z

= 1

против

часовой

стрелки. По формуле Эйлера

g( . v _ c o s х_^і

s j n х^ £ - i . i - _ c o s x _ i S j n

x <

поэтому

eix_e-lx

z

eix +

e-ix

~

S [ n X =

2І

= - 2 f - '

C 0 S A ' =

2

= — 2 — '

dz=ieixdx—izdx

и dx—-

^

iz

Тогда

1

z 2 + l \

dz

\z\=l \

iz

г — 2с

d

x

1 — .) 1

sin X

Здесь заменой

переменной

z=elx

мы сведем наш интеграл

/і к

контурному

j

_ 2 с

dz

= 2 іВ

'

' „ f L i * 4 4 f e - l

[ 2 _ ( _ 2 + / 3 )г] [z+(2+VZ)t]

'

Очевидно, из двух корней

г, = ( — 2+1^3 )і и z.,= —(2-\-\лЗ

)і

знаменателя

z--\Aiz—\

подинтегральиой

функции

только z\

ле­

жи т в круге

I z | < 1. В

этой

точке

функция имеет

простой полюс.

Поэтому

1

_

-АтЛ- Urn

1

r 2 - H i z - 1 '

*'

A-i

2*

( - 2 + 1 / 3 ) ^ ( 2 - F

3)/

1/3"

cos2

2л"

1—2/7

COSA'

+p'

где

p—вещественное

число,

| / ? | < 1 ;

4

J

z4 <(z—z-// 7 ) ( p z - l )

• rfz,

. г ; =

l

так как

cos 2JC

eW.ï + e-2/дг

z'4-1

=

2z2

У

подинтегральиой

функции

( z ' + i ) 2

z'{z-p)(pz-\)

внутри круга

| z | < l

две особые

точки

z = 0 и z — p. В точке z = 0

у / ( z )

полюс

4-го порядка, в точке z=p—простой

полюс. Поэтому

Л = 2 * і - ( г [ / ( г ) ,

0]+r\f(z),

;

' • | / ( z ) , ^ ] = Um ( z - / » ) / ( z ) = l i m - i f " 1 " 1 ^ = y t 1

^ •

Д л я нахождения

вычета

в точке

z = 0

р а з л о ж и м

функцию

/(z)

в ряд Л о р а н а в окрестности

нуля:

( z 4 + l ) 2

=

z*4-2-

1

1

z ' ( Z - / 9 ) ( / ? Z - l )

z 1

/

( z - / » ) ( p z - 1 )

1

z—p

pz—l

p2—l

Н а ш

интеграл

j - *А

( z l + î)2 '

*

2 ~ 4 У

2 Ч 2 - / 7 ) ( / 5 2 - 1 )

2

2 ^ ( / ? ' + 1 ) = * ( р 4 + 1 )

2 / > Ч / 7 2 - 1 )

1 - Р 2

'

Теорема. Пусть функция f(z)

регулярна в верхней полуплос­

кости, включая и действительную

ось, за исключением

конечного

числа

особых

точек аи

а2, . . . ап,

л е ж а щ и х

в верхней

полуплос­

кости, л\

пусть f(z)

имеет точку 2 = со

нулем

второй

или более

высокой

степени, т. е. разложение

f(z)

на

со

имеет

вид

=

....

тогда

J f(x)

dx

равен

произведению

2 ш

на

сумму

вычетов

ной

осп от —R до +R

и полуокружности

CR . П о основной тео­

реме

о вычетах

$f(z)dz

= 2*i2lr[f(z),

ак].

§ f{z)

dz

= J f(z)

dz +

J f(x)

dx.

-R

Поэтому

U(z)dz

+

jf(x)dx

=

2^^r[f(z),

aK]

(7)

По условию

теоремы

-ei \

c - 2

,

c-г

,

C-2+—

+

—2-+

. . . ] =

—2 --<р(г).

Д л я

cp(z)

точка

z—

со

— т о ч к а регулярности,

так как

cp(z) -*-c_o. Поэтому

функция

cp(z)

ограничена в окрестности

2 = со

и, в частности,

на окружности

CR, так как R можно взять

сколь угодно большим. Значит

на CR

|<p(z)'<

M.

Оценим

интеграл

по

окружности:

j

/ ( z ) d z

| =

|

j

1

j(z)dz

< - = j

• * ß

A 4 i

•

R