Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.08.2024

Просмотров: 98

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Отсюда следует, что f f{z)dz

->• 0.

CR

R-co

Переходя в равенстве (7) к 'пределу при R ->• со получим

 

 

jJ(x)dx

 

=

2Td-£_кr[flz),= 1

 

ак).

 

 

Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

J ( х 2 + 9 ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь / ( г ) = , , .1

имеет

g t = 3f,

сь = — 3 t — полюсы

2-го по-

рядка . В

верхнюю полуплоскость

из них

попадает

а.\.

Поэтому

 

 

 

dx

 

=

2 W T

 

1

,

3i

 

 

 

 

(A-'J +9) 5

(z 2 4 - 9) 2

 

 

 

 

1

3i

=

lim

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

7 ,

 

 

 

 

= l i m

 

 

 

{z"- 4 9)2

 

 

z-*3i

(2=4-9)a

 

z-*3i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

108

'

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(;t2 4-9)2

=

2-t

 

 

 

 

 

 

 

При вычислении

интеграла

мы воспользовались

доказанной

теоремой,

не

проверив

поведение

функции

 

на со. Но там

 

 

1

 

 

 

1

 

=

4 г

•<?(*).

 

 

 

 

( г 2 + 9 ) 2

 

z*

1-L-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

"I

Г2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

i

. 8

_і_

Л

І

 

 

 

 

 

 

 

—

1

 

-,2

" Г _,4

 

 

 

 

 

 

Поэтому

на

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

18

 

243

 

 

 

 

 

(z 2 4 - 9) 2

 

г i

 

_.а

т

~s

 

 

 

 

7 Зак. 227

97

Этим

возможность

применения

т е о р е м ы

обоснована.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

х2+\

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З д е с ь

 

f(z)

—

у 1

 

_|_

 

имеет 4

простых

полюса:

ак

— у—

1 =

 

- + 2 - ( к - І )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= е

 

4

 

,

к-— 1, 2, 3, 4.

В

верхней

полуплоскости нахо -

 

ах

 

і - -

 

 

 

 

 

I

—

 

 

 

 

 

 

 

 

дятся

=

е

4

и

а> =

е

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

На

со ф у н к ц и я

/(z)

представима

р я д о м

 

 

 

 

5!±1=

 

1

"~

 

 

 

/ _ L +

J L W 1 _ J - +

J —

U

 

 

 

 

=

' + 1

 

2 2

 

1 - U 1 \

 

 

I z2 Т

 

2'1

M

2* ' ZS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

J _ + J - _ _ L _ _ L +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,.2

~

2

- i

 

2 6

 

2 8

 

 

 

 

 

П о э т о м у к функции

/(г)

применима

теорема

и

іможно

на­

писать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2+\

-

^

 

= 2 « { г [ / ( г ) ,

а,]

+

г | / ( z ) ,

а 2 ] ) ;

 

 

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

Л - Г -

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<г2 , 4 + 1

 

е 1

. Зя

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

4

 

 

4 - f ß '

 

 

 

 

2 4

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

- 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. 6п

2 2 + 1

4е

Окончательно имеем

 

1 /

< л

іѴ2

. 9л

- т ( е

л ~ е

4 Г ~ —

'~4-

 

 

 

98

И н т е г р а л ы

вида

j

f{x)dx

 

 

м о ж н о

иногда

вычислять

с

по -

 

 

 

 

— со

 

 

 

 

 

 

 

z = с о не

 

 

 

 

 

м о щ ь ю контурных

и в

с л у ч а я х ,

когда

 

является

ну­

лем 2-го или более

высокого

порядка .

П р о и л л ю с т р и р у е м

эти

случаи

примерами .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры.

 

 

 

 

+ оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COS X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х 2 4 - 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возьмем ф у н к ц и ю

f(z)

=

 

|

.

Она имеет

два

простых

полюса

в

точках

 

а,\ = 2і

и

 

а 2

= — 2і. Ha

действительной

осп

вещественная

часть

этой

функции совпадает

с

подинтегралы-юй

функцией.

Возьмем

полукруг

достаточно

 

большого

 

радиуса

R>2.

Контур

его

L , ' состоящий из полуокружности CR

и

участка действительной оси от —R до +R,

содержит

внутри

себя полюс

ЙІ = 2І

функции

/ ( г ) . Поэтому

по

основной

теореме

о вычетах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№dz=

 

_ . f " d x

+

L * L

dz=2rd-r

 

z

2 + 4

2*

 

 

(8)

 

 

 

-R

 

 

C,'R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П о к а ж е м , что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

" + 4

 

ß

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д е й с т в и т е л ь н о , на CR \ eiz\ — e~y

< 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поэтому

 

 

| z 2 + 4 | > | z 2 | - 4 = tf2

 

4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

+ 4

 

 

 

 

Я 2

- 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И з

последнего

неравенства

видно, что при

/ ? - > с о

его

пра­

вая часть' стремится к нулю, значит к нулю стремится и левая .

Теперь найдем вычет

 

 

 

z 2 4 - 4 ,21

 

1

 

2-2L

4е2-і

'

В (8) п е р е й д е м к п р е д е л у

при R - > с о и

получим

+ ~

 

 

 

л 2 4 - 4 о"л:=2т«

4 е 2 і

2 е 2

 

7*

 

 

99

В левой части этого равенства отделим действительную и мни­ мую части

 

 

 

cos X. dx

-!•- i

sin X dx-

2e-

 

 

 

 

x2~+4

 

x*-rA

 

 

о т к у д а

 

 

cos X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx-

2e-

 

 

 

 

 

 

J: -v-2 +4

 

 

 

 

или,

так

как подннтегральиая

ф у н к ц и я

четная,

имеем

 

 

 

COS X ,

_ _ J _ f

COS X

,

-

 

2.

Вычислим

интеграл

Эйлера

sin X dx. Возьмем ф у н к ц и ю

f{z) =

е'~

. Она

р е г у л я р н а всюду,

кроме

z=0,

где имеет про-

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 38

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стой полюс. Рассмотрим теперь контур

L

(рис. 38),

состоящий

из

двух

полуокружностей

Сг

и

С/?

 

(r<R)

и

двух

 

участков

вещественной оси

от — R до

— г и

от

г

до R.

Внутри

этого

кон­

тура

у f(z)

нет особых

точек,

поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

f

f{z)

dz

=

j f(x)

dx +

\ f{x)

dx

+

§

f(z)

dz +

j

f{z)dz=

0.

(9)

L

 

 

 

- R

 

г

 

 

С

 

 

 

 

C R

 

 

 

100

Смотрите также файлы