Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

П о к а ж е м ,

что

[

f{z)

dz^O.

CR

CR

Ha

e-y

1

поэтому

f(z)dz

< - A _ « / ? = K

но

эта

грубая

оценка

не дает возможности

получить

т р е б у е м о е

Вычислим

\

— d z

по

частям

при

и

=

—

,

dv=e''dz.

J

2

2

Тогда

c ff

e'2

,

elR+e-,R

e" .

—

,

1

f

z

~

iz

., dz

туз

\- —

—— dz

iz-

iR

i

z-

CR

-R

CR

2

D

l

1

J R C

0

S

R

+

T

^ d

Z -

Т е п е р ь

CR

- r d , \ <

-g

cos

R

j

+

dz

R '

R

0.

CR

CR

Вычислим

I

dz.

Д л я

этого

р а з л о ж и м п о д и н т е г р а л ь н у ю

функцию

в р я д Лорана в

окрестности

2 = 0 :

1 .

.

2

1

, .

Функция

«(z)

регулярна

в

окрестности

нуля,

поэтому

(г-

мало)

на

Сг

ограничена .

Тогда,

если

| с ( г ) | < / г е

на

С г ,

<р(г) dz

<

тъг

-э- 0

г->0

На

Cr

z=re'*,

dz = rie'?

dr&,

поэтому

C

e "

,

f

(/г

f

о

ri&rd's,

, .

Г

t.'

I

I

/

с

Г

=

-

тл+

j

? (z)tfz.

—

dz-+

— та.

С,

г - О

Перейдем т е п е р ь

в (9)

к

п р е д е л у ,

устремив

R-+ со , г~>0.

Тогда

п о л у ч и м

О

еіх

+0О

еіх

"

Г

J

—

dx+

—ах

= ш.

(10)

— со

0

х=

—t,

dx— —dt и

В первом интеграле

сделаем

замену

будем

иметь

- с о

0

0

П о д с т а в л я я этот

результат

в

(10),

получим

е-іх

('

еіх

р еіУ_

е-іх

x

dx-\-

\

—

dx=

j

X

dx=*

j

л-

о

и

ü

n .

,

sin

X

,

= 2i \

—-^— dx = i u ,

откуда

о к о н ч а т е л ь н о

и

sin

Л:

dx=

—.

x

2

Г л а в а

ѴІ

Г И Д Р О М Е Х А Н И Ч Е С К О Е И С Т О Л К О В А Н И Е

А Н А Л И Т И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й . Э Л Е М Е Н Т А Р Н Ы Е

А Н А Л И Т И Ч Е С К И Е Ф У Н К Ц И И

И ИХ К О Н Ф О Р М Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

§ 1.

Некоторые общие теоремы теории

конформных

отображений

В

§

6

гл. I I

было

дано

понятие

конформного

отображения

и показано, что отображение, осуществляемое регулярной

функ­

цией, конформно во всех точках, в

которых

производная

этой

функции отлична от нуля. Справедливо и обратное

утверждение:

если

функция

w=f(z)

о т о б р а ж а е т взаимно-однозначно

и

кон­

формно

область

D

на

область

Д,

то эта

функция

регулярна

в Д

а обратная ей функция z=ç>

(да)

регулярна в А.

Возникает

вопрос,

всегда

ли

возможно

взаимно-однозначно

и конформно отобразить произвольную область D на другую

произвольную

область

Д?

Очевидно,

что

для

того,

чтобы

уметь

о т о б р а ж а т ь область D на

область

Д, достаточно суметь

отобра­

ж а т ь

к а ж д у ю

из

них

на какую-нибудь область стандартного

вида, например на единичный круг

| г | < 1 .

З а т е м

останется

отобразить

единичный

круг

в

себя.

О

возможности

решения

другие

в этом параграфе,

излагаем без

доказательства .

Теорема Римана . Л ю б у ю односвязную область Д граница

которой

содержит более

одной точки,

можно взаимно-одно­

ной "области

D за исключением всей плоскости или плоскости

с выколотой

точкой).

Если конформное отображение области D на единичный круг

возможно,

то из множества функций, осуществляющих это

отображение, можно

выбрать такую

функцию

w=f(z),

которая

переводила

бы точку

z0 области D

в центр

круга

( f ( z o ) = 0 ) ,

и к тому ж е

такую,

чтобы

касательные

к кривым

в точке z0

не

изменили бы направления

(f

(zQ)

= 0 ) . О возможности

реше­

ния

этой

задачи

говорит

теорема единственности.

Теорема единственности. Существует единственная

функция

zv = f(z),

о т о б р а ж а ю щ а я

взаимно-однозначно и конформно одно-

связную

область

D

на

единичный

круг

| д а | < 1

так,

чтобы

f(z0)

= 0

и f'{zQ)

= 0 ; здесь г 0 — точка

области D.

Отметим, что и в теореме

Р н м а н а

и в теореме

единствен­

ности речь идет об отображении лишь

внутренности

области D

на

внутренность

единичного

круга,

а значит и на внутрен­

ность Л. Каково же соответствие

границ при этом отображении?

Теорема о

соответствии

границ.

При

взаимно-однозначном

ных кусочно-гладкими контурами,

друг

на друга

устанавли­

вается взаимно-однозначное и непрерывное соответствие

границ

этих областей.

Д л я практики

большое

значение

имеет

обращение

последней

теоремы — теорема,

которую называют

п р и н ц и п о м

с о о т ­

в е т с т в и я г р а н и ц :

Если функция

zv = f(z)

регулярна в односвязной

области D

и непрерывна

в

D,

устанавливает

взаимно-однозначное соот­

ветствие между

границей

L области

D и границей / односвязной

Познакомившись с основными принципами теории

конформ­

ных отображений, перейдем теперь к о т о б р а ж е н и я м ,

осуществ­

ляемым простейшими

аналитическими

функциями .

§

2.

Линейная функция

Отображение,

осуществляемое

линейной функцией

w — az + b,

где а и b — комплексные

числа и а Ф 0, является конформным на

всей

плоскости,

так как

в любой

точке z

w''{z)

= аФ

0.

В § 2,

гл. 2,

примеры

5—8, было показано, что линейное

отображение

состоит из трех

элементарных — сдвига,

поворота

и

растяже ­

ния. Рассмотрим несколько примеров линейного

преобразо ­

вания.

Примеры.

1. Легко убедиться в том, что линейное преобразо­

вание -w = az+b

окружность переводит в окружность .

Действи­

тельно, если точка z находилась

иа окружности | z—z0

\ = R (z—

=z0 + Re'"? ), то соответствующая

ей точка

ш = а (zo + Rei,?)

+b =

= az0

+ b + Rlei'^

(a— reia,

Ri = rR,

ip = cp + a)

будет находиться на

окружности \w—w0\ =Ri

с центром в точке w0

az0

+ b.

Поэтому

функция

w — 2z—і.

переведет

окружность | z —21 = 1

в окружность

\ w—4+i\—2

(рис. 39).

I

2. П о к а ж е м ,

что линейная функция

сохраняет

прямые

линии.

Действительно,

пусть

точка z = x + iy лежит на прямой Ах + Ву +

+ С = 0. Точка