Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

Рис. 41

Поэтому,

например,

линейная

функция w—— З / г + 5

прямую

2х—у

— 2 = 0

переведет

в прямую

«4-2ü-|-1 = 0 . Действительно,

точки

Zi = l

и г г = — 2 / ,

л е ж а щ и е

на первой

прямой, переходят

соответственно

в точки

œ>i = 5 —Зг

И а » 2 = — 1 ,

л е ж а щ и е

на второй

прямой (рис.

40).

3. Требуется отобразить

к в а д р а т А на

к в а д р а т В

(рис. 41).

Т а к а я

з а д а ч а

решается

не

единственным

способом.

Приведем

два из

возможных способа.

П е р в ы й

с п о с о б .

Преобразование w\ = 2z растянет исход­

ный к в а д р а т

со стороной, равной единице

длины, в

к в а д р а т А]

А ,

2

V

Рис. 42

Рис.

43

со стороной, равной двум единицам длины

(рис.

42).

Преобра ­

зование поворота на

угол

w

=

е1Т

• w1

= iw1

=

2iz

перемещает

к в а д р а т

А\

в

к в а д р а т

В.

В т о р о й

с п о с о б .

М о ж н о

очевидно

изменить

порядок

пре­

образований .

Повернем

сперва

к в а д р а т

А

на угол

-^—. Это

осуществит

функция

w,

= е i —

к в а д р а т

А

на

плоскости

ш,

перейдет

в

к в а д р а т

А\

(рис.

43).

Р а с т я н у в

к в а д р а т А\

при

помощи

преобразования

ку = 2о)| =

2/г,

опять получим

нужный

квадрат

В.

§

3. Функция

W-

1

Производная этой

функции

w'--

.1

—

существует

и отлична

1

кроме

этих

точек.

Функция

w=

--—

точку

z = U

переводит

в з у = с о ,

a z = с о в

ау = 0. А тогда,

если

условиться

считать, что

угол

между

линиями в

бесконечно

далекой

точке

равен

углу.

1

между

их

ооразамн

при

отоораженпи

w=—

в начале коорди-

z

1

нат, то

можно

отооражение

функцией

w=—^

назвать

кон­

формным на всей плоскости.

П о к а ж е м ,

что

отображение

w=—состоит

из

двух отобра­

жений

симметрии. Рассмотрим

окружность радиуса R с центром

в точке О (рис. 44). Проведем

из точки О луч.

На

этом

луче

внутри

круга

возьмем

точку

Al.

Вне

круга

на

этом ж е

луче

M

и

М '

называются

с и м м е т р и ч н ы м и

о т н о с и т е л ь н о

д a H н о й о к р у ж н о е т

п. Очевидно, если точку M

приближать

к окружности, то и точка

М' тоже будет приближаться

к

окруж ­

ности. Если точка А! лежит на окружности,

то М'

с ней

совпа­

дает, т. е. точки окружности симметричны

сами

себе

относи

тельно данной окружности. Очевидно

т а к ж е ,

что если

точку M

приближать

к центру

окружности,

то

симметричная

ей

точка

Ai' будет удаляться в ос,

так что

центру окружности

симмет­

ричной является бесконечно-далекая точка.

Пусть теперь центр О окружности находится в начале коор­

динат. Тогда точке z круга, симметричной точкой будет

точка г,

(рис.

45). Найдем ее. Из

условия

симметрии

этих

точек

имеем

l z

H z

i |

= ^ 2

, - A r g z = ArgZi, п о э т о м у

R2

g/Arg г

_

П2

J}

Z

Если

/? = 1,то

точки

z

и

1

сим метрп чиы

относительно

окружности | z | = l .

Д в е

точки

Z\

и

z2 , симметричные относи­

тельно

действительной

оси

(рис.

45)

равноудалены

от

начала

координат, аргументы ж е комплексных чисел zx

и z2

отличаются

лишь знаком. Поэтому, если Zi=/"<?/ < ? ,

то z 2 =/"e~' ? .

Пусть

z = r e ' a ,

тогда

1

Значит,

точкой,

симмет-

1

ричион

точке

- - — O T H O C 1 I -

тельно

вещественной

оси,

является

точка —!— е~ы

—

г

= - ~ -

. Т а к и м образом,

-

w =

1

о т о б р а ж е н и е

z

r

складывается

из:

1)

ото­

Рис. 46

бражения

симметрии

относительно

окружности

\z

= 1

(отображение

у

) и

2)

сим-

метричпого

отображения

относительно

вещественной

оси

(рис.

46).

w——^-

П о к а ж е м

еще,

что

функция

переводит

окружность

в окружность, если и прямую

т а к ж е

считать частным

случаем

окружности — окружностью

бесконечного

радиуса.

Пусть

z—xA-iy,

w=u

+ iv, тогда

равенство

w=

запи ­

шется

в

виде

х-\-іу

или

1

а—IV

х + іу = и-\-іѵ

~и2~+ѵ2~

О т с ю да

х —

и2+ѵ2

'

А

{х2+у2)+Вх+Су+В=0.

Если А—0,

то

о к р у ж н о с т ь вырождается в п р я м у ю

Bx+Cy+D=0.

А

.

Ва

Сѵ

+ D =

0

иг±ѵ2

иг+ѵ*

или

A + Bu—Cv+D

(и2+ѵ*)=0.

Последнее — уравнение

окружности

в плоскости да.

Если

JD = 0, то эта

окружность вырождается в

прямую

А + Ви—

Сѵ = 0.

Обратимся к

примерам .

1*

iL