Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

гг zH-Az,

перейдет

в крпгую

Г,

па

которой

л е ж а т

точки

w

и

;:Ч-Лсс. Вектор-хорда Az,

сое.'чпшюшаи

точки

z и z-j-Az па

\\

и

ректор-хорда AU; 1 , соединяющая точки

со п со + Лса па

Г,

имеют

длины

соответственно |Az| и |Лсс[

(рис. IRK Отношение

длин

этих

I АсСІ

хорд равно

- .

.

I

à

z ;

Пѵсть А~-:-0, тогда точка г-j

Az

no

у

стремится

к г,

a се + Лсо

по

Г стремится

к се.

Предел

lim

, ч ~ ,

называется

к о э ф ф и -

Лг-0

I

~ I

и и е и т о M л и и е и и о г о р а с т я ж е н и я. Но

..

| Д И У |

=

..

Azt'

lim

- рт —

р

lim

іг-П

I -iZ

j

"Дг"

І2-0

поэтому модуль производном характеризует изменение линейных

размеров

в точке

z.

Итак,

геометрический

смысл

модуля

производной

заклю ­

чается

H том,

что

| f (z)|

равен

коэффициенту

линейного растя­

жения

в точке

при отображении

£' — / ( z ) .

Пример

1. Так,

при

отображении

функцией

!с>=4г'! —5?-|-1

ко­

эффициент линейного растяжения равен-

w'\ — \ Viz2—5|.

В

точке

z =

1

I w'

I — 7,

т.

е.

линейные

размеры

в этой

т о ч к е

у в е л и ­

чиваются в 7 раз.

Обратимся теперь к выяснению'геометрического смысла аргу­

мента производной. Аргумент Az

— угол

между

вещественной

осью плоскости z и вектор-хордой Az,

argA-cC— угол

между

ве­

щественной

осью

плоскости се1

и вектор-хордой

Aw

(рис.

16).

А-гс — arg

АСА

против

часовой

стрелки. Но

arg

Az = arg

" д " •

При

Лг - ЧІ

н А:с-»-0, а направление хорд Az

и Асе' стремится

к иапрасленню

касательных

к

кривым

у п Г в точках z и w со-

lim -

(Ѳ - « ) = lim -

д ~

= arg / ' (z) = f t 0 — ?

0 .

Гакпм образом,

геометрический

смысл

аргумента

заклю ­

ч а е т с я в том, что arg/'(z)paBeii

углу

поворота

кривой у

в точке z

при отображении

w =

f(z).

Рис.

17.

плоскости z равен по величине и по направлению

отсчета

углу

между кривыми

Г. п Г2 плоскости

а>,

соответствующими

уі

и уо

при отображении

tc' = / ( z ) .

Это свойство

отображений

называется

с в о й с т в о м

к о н ­

с е р в а т и з м а

у г л о в .

Определение

1. Отображение

xu = f(z),

о б л а д а ю щ е е в точке z

свойством

консерватизма углов,

и

постоянством

линейных

рас­

тяжений,

называется

к о н ф о р м н ы м

в

э т о й

т о ч к е .

Определение

2.

Отображение

w = f(z)

называется

к о н ­

ф о р м н ы м

в

о б л а с т и

О

если

оно

конформно в каждой

точке области

D.

В дальнейшем 'будем отмечать

не только величину угла, но

и направление его отсчета.

Под

направлением

отсчета

будем

понимать направление, в котором

надо

по кратчайшему

пути

в р а щ а т ь

первую

сторону .угла до ее совмещения со второй сто­

роной угла.

Таким

образом, мы

будем

отличать

углы, отсчиты­

мых в противоположном

направлении .

Конформное отображение сохраняющее углы как по величи­

не, так и по направлению,

называется

к о н ф о р м н ы м

о т о ­

б р а ж е н и е м 1 - г о

р о д

а.

Конформное

отображение 2-го

рода

изменяет направление

отсчета углов.

рода

во всех

точках, в которых производная

функции

отлична

от нуля.

.

Пример

2, Отображение iv=az-\ b конформно

на

всей

плоскости

т.

к.

w'(z)~a^0.

Это

конформное

отображение

1-го рода.

Пример

3. О т о б р а ж е н и е

w = z2

конформно

всюду,

кроме

z=0,

т. к. w'(z)=2z=£0

всюду,

кроме

Z

— Q .

Пусть

z=re'f,

w=peie,

тогда

p — r-,

Ѳ = 2? .

Отсюда следует,

что

при

этом

отображении

все точки, л е ж а щ и е

на

л у ч е

arg;2 =

cp0, п е р е й д у т

в точки,

л е ж а щ и е

на

л у ч е argio =

290 , а

т о ч к и ,

л е ж а щ и е на

окружности

I z

I = / ' о , — в

точки,

л е ж а щ и е

на

о к р у ж н о с т и

3 Зак. 227

33

Рис. 19

Если f(z)

регулярная

функция

в некоторой

области,

то ото­

бражение

ze = ((z)

—

конформное

отображение

2-го рода везде,

где / ' ( г ) = 0 ,

так

как

здесь

имеем

дело с наложением двух ото­

бражений:

w\=f(z)

— конформное

отображение 1-го

рода и

w — w\ —

зеркальное

отображение .

§ 1.

Интеграл функции комплексного аргумента

Понятие

гладкой кривой.

Пусть z{l) — к о м п л е к с н а я

функция

действителытого аргумента

/, определенная для t £ \ t u

t.,\. З а д а ­

функций ,ѵ(/) и ! / { / ) таких,

что

'z(l)

=x(t)'+

iy(t).

Взяв

z

опреде­

ленное ^oG [ Л .^ЗІІ получим

на

комплексной

плоскости

опреде­

ленную

точку г ( / 0 ) =

x((0)+iy{t0).

Если

ж е

переменная

/

(ее на­

зывают

п а р а м е т р о м )

пробежит

последовательно

все - значения I

от t\ до

h,

то точка

i{t)

зачертит

некоторую

кривую.

Пример:

z{t)

=

eu,

—

Здесь

| г ( / ) | = 1,

параметр

/

играет

роль

аргумента

комплексного

числа z(l).

При

непрерывном изменении

/ от — я д о я точка

про­

бегает

окружность | г | = 1 от г ( — п )

—е~ы=

— 1 до

z (х) = еіг-=

— \

(рис.

20) .

І 2 Ё

J—>x

3*

35

Определение 1.

Плоская

кривая

г{() {t^f

•:'/.,)

называется

г л а д к о й , если функция z(l.)

имеет

в

[/,. to]

непрерывную про­

изводную z'(I) =7=0.

Условие гладкости

означает, что

направление

нием точки касания .

Определение 2. Плоская

кривая

z{t) ( ^ , < ^ < Д . ) называется

к у с о ч и о - г л а д к о й, если

она

состоит из конечного числа

нейшем будем иметь дело лишь

с

кусочно-гладкими кривыми.

Интеграл

от функции

комплексного

переменного.

Пусть в

не­

которой ограниченной области D плоскости z задана

однознач­

ная непрерывная

функция

w=f(z)

=

/ (X

-Ь і\>) =

и (X, у)

+

іѵ (х,

у)

и пусть

L—некоторая

кусочно-гладкая

кривая из D,

с

концами

в точках

z = a и z =

b.

\ .

Р а з о б ъ е м

L

произвольным образом

точками

z0—a,

z,,

z2,

z „ . i ,

zn

— b

на п

участков,

обозначим

zK — zK-.\

= AzÄ =

=SxK

+

i\yK.

2. Выберем на к а ж д о м участке

(zK

i ,

zK)

кривой

L

произ ­

вольную

точку

я к + ' ? к

1 1 вычислим

в

ней

f

( f j j .

3.

Составим сумму произведений

аи= v

f^K)àzK.

Сумма

ап ,

вычисленная

для

определенного

разбиения

кривой

L

и определенного

выбора

точек

' І к .

называется

и н т е г р а л

ь-

н с и

с у м м о и

функции

f(z).

довательности разбиений кривой

L ,

удовлетворяющих

условию

( 1), называется и н т е г р а л о м

от

ф у н к ц и и /(г)

в д о л ь

к р и в о й L и обозначается символом