Файл: Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы.pdf

Следствие 1. Введенные в теореме 5.8 числа Xf (М) явля­ ются полюсами функций uf (, 1/Л, ) в областях D±.

Эти числа Xf (М) были определены нами как полюсы опе­

следствия 1 это не так, ибо функции и%(, УX ) от параметра t не зависят, a Xf (М) — полюс функции и%{, УХ).

Следствие 2. Функция cpf (х, Xf (М), М) в равенстве (5.22) является решением уравнения

извольное фиксированное число и пусть а(М) произвольная функция, которая удовлетворяет условию

а( М)\0, М-*-оо, 0(М, t)/a(M) ->0, М->- оо.

Тогда для достаточно больших М выполнено неравенство:

94

Предположим, что Г,- (/И) > а (М), М > М-г Тогда

что опять противоречит теореме 5.9 в силу (5.34) и (5.35). Теорема доказана.

Из леммы 5.2 и теоремы, 5.10 вытекает Следствие. При Л4>Л4;- справедлива оценка

где

d(M) = 0,5 р ({х, V (х) < М}, {х, V (х) = оо}).

§ 7. О поведении фазового сдвига вблизи резонанса

Для сферически симметричного потенциала классический формальный критерий резонанса в канале с угловым момен­ том I состоит в том, что фазовый сдвиг 6г(Я) в малой окрест­ ности резонансной энергии ^=Л.рез резко изменяется на вели­ чину, близкую к я, возрастая, проходит через я/2 [10, стр.293— ^ 297], [11, стр. 25]. В связи с этим возникает следующая мате­ матическая задача: в том случае, если потенциальный барьер выражен достаточно четко, доказать, что действительно суще­ ствуют такие значения энергии Лрез, в малой окрестности ко­ торых фазовый сдвиг 6г(Я) изменяется указанным выше обра­ зом.

т. е. что рассматриваемые резонансы являются резонансами в классическом смысле. В этом параграфе положим N= 3.

Предположим, что выполнено условие I: потенциал V(х) удовлетворяет условиям Л(а, R), финитен: V (x)=0, |х|>/?, и сферически симметричен:

V(x) = v(r), г — |х |.

Пусть □,- = {/-, o(r) = oo}, vM{г) = min (М, v{r)) и (rv,0A.,(px) —

сферические координаты точки х.

96

Положим по определению G1m (г, г', t) == (21+ 1) (4л)-1X

Из того факта, что в L2(R3\Q) полугруппа G (Г) есть по­ лугруппа самосопряженных операторов класса С0, вытекает

Лемма 5.12. В L2 ([Ooc^XQ,., г2 dr] операторы Gl(t) обра­ зуют полугруппу самосопряженных операторов класса С0.

Определение. Оператор (— Н1) в L2([0, oo)\Qr, г2dr) есть инфинитезимальный оператор полугруппы G1(/).

Следствие. Оператор Н1самосопряжен в L2([0, oo)\Qr, r2dr) и на функции из С“ ([0, oo)\Qr) действует по формуле

— Н1и = дг2и + 2/~1дти■—I (I -г 1)г~2 и — v (г) и.

ядром Gl(r, г', t), однако это не понадобится в дальнейшем, и поэтому мы не будем останавливаться на этом подробно.

Введем временно следующие обозначения: B« = L2([0, оо), e~Srr2dr), | ||р, а — норма в классе операторов 1 Ср, действу­ ющих на Ва, А — оператор умножения на функцию ехр(—аг),

|£м(о г', if)|<Cexp(— Р (гЧ -/-')2),

где С и р>С — константы, значение которых для нас несуще­ ственно. Справедливо равенство

1 Определение операторов класса СР см. в [4], Сра — операторы класса СР в Ва.

9 7

gAf (Щ = Go (t) A •A~' glM- g lM(t) A-' AGlM(t). (5.39)

раторов из С2,а, и поэтому git(t) € Ci,а. Оценка. (5,37) следует из (5.39). При а= 0 мы получаем

Следствие. Волновые операторы и 5-матрица для опера­ торов НМ1 , Hq существуют и справедливо равенство

uppGl(r, г', t)={r, г'; max (/-,/-') < Я Х} U {о r'\m\n(r, r')>R2}.

Положим

и доопределим функции Glext, G,-nt нулем там, где они не опре­

делены равенством (5.41); пусть GeXt(0> G{nt (t)-— интегральные операторы с соответствующими ядрами.

Очевидна

Лемма 5.15. Операторы Glexi(t), Gfnt (t) — самосопряженные полугруппы класса С0 в L2([R2, оо), r2dr), L2([0, ^х], r2dr) соответственно.

Пусть (~ H lext), (— Hlint) — инфинитезимальные операторы

значениями и собственными функциями оператора Н\пи Триви­ альным повторением рассуждений теоремы 3.4 доказывается оценка

98