ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 77
Скачиваний: 0
ния на (1 + |х| )_(ЛГ+а>/2 . Включения BG0(t)^.C2,o, G(t), В<=
е С 2,о проверяются, тривиально.
Пусть х (R, х) £ С“ , 0 < х (Я, х) < 1,
х (Я, х) = |
1 . И < Я , |
|
О, |jc|> 2R. |
||
|
Положим У<л>(х) =х(В, x)V (х) и временно обозначим пре дел (1.11) с потенциалом У<л>(х) через GR(x, у, t). Справед ливо равенство
В [G0- G] = В-1 [G0GR] + В- 1 [Gr - G], |
(1.46) |
Докажем, что каждый из операторов в правой части (1.46) принадлежит С2_0.
Ядро оператора B- 1[G0—GH] в силу теоремы 1.1 удов летворяет оценке
^\B~l[G0- G R](x,y)\2dxdy<
< СJ (1 + |х |)(W+a>[ехр'( - 1 |
х р/8) + |
+ j ехр(— (х— г/)3(1 — &)!Щх — |
dx<oo, |
\y\<2R |
|
что и доказывает включение В- 1 [G0— GR] 6 С2,о. Из равенства
t
(Gr — G) (х, у, t) = j* dx J G (x, z, t ■—•т) (1 —
)
— xR (z)) V (z) Gr (z, y, t) dz
следует оценка |
|
|
t |
|
|(Gr — G) (x, y, t) I < |
C j |
|
dxG0 (x, z,t — x) x |
|
(1 — x* (z)) IИ (2) I j |
||||
|
|
|
0 |
|
X Gg (z, у, x) dz < |
C |
J (1 - |
XR (z)) IУ (z) I [ I x — z\2~N-I- |
|
+ IУ- zГ " ] exp ( - |
(1 - e) [(x - |
z)> + |
||
4- (y — zf]/4t) dz < C" exp (— (1 — 2e) (x — y)2/4t) x
X j exp (— e [(x — zf + (y — zf\!4t) X
X [Jx — Z?~N + \y— 2|2“ w][1 + \z\]~N~^dz.
32
Пусть 1 < p ■< N — 1 . Тогда
|
|
N — 2 |
|
|
|
|
|
|
( - |
e [(x — z f + (y — z)2]/4/) (1 + J z |
|
|
z\2~ N dz |
< |
|||
|
|
|
|
(ЛГ+cs) |
„ |
|
|
|
< ( |
j |
exp(— eq(z — г/)2/ it) (1 +|z|) |
2 |
'd z )1/?x . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(* |
exp(— ep (z— xflAt) n |
, , „ n |
(W+a) |
„ |
|
|
|
X |
2 |
^ |
r < |
|
|
|||
|
VJ |
\x - z \W -*p |
|
|
|
|
||
|
|
С C " (1 -j- |у I )—(W+“)/2 (1 -j-j A|^-(W+a)/2 |
|
|
|
|||
Отсюда вытекает оценка |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|(G« — G)(x, у, f)|< |
N + a |
|
|
_ N + a _ |
||
|
|
|
|
|
|
|||
<C exp(— (1 — 2e)(x — j/)2/4^)'(1 + |x |) |
2 |
( 1 + Ы ) |
2 |
, |
||||
а из (1.47) |
в свою очередь следует, что |
|
|
|
(1.47) |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
J (1 + IУI f +a I (Gr - |
G) (х, у, t) |2dxdy < |
|
|
|||
< C' j (l -H у |f +a (l -H у |r N~* (i + 1* I )~N~a X |
|
|||||||
|
|
X exp (— (1 — 2e) (x — y)z/2t) dxdy < oo, |
|
|
|
|||
поэтому |
B~ 1 [Gr — G] 6 C2,o. |
включения [G0—Gfl].6_1e C 2,o |
||||||
Аналогично доказываются |
||||||||
[Gn—G]B_1e C 2,o. Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|||
Пусть V(x) и V(x) —•два потенциала, значения кото рых совпадают на множестве а>м={х', Р(х)<^Л1}, где М дос
таточно-большая константа, и 0^ V(х) ^ V(х). Пусть G и G— ядра, вычисленные по формуле (1 .1 1 ) по функциям V(х) и
У(х). Рассмотрим функцию
а (х, t) = j* [G (х, y,t) — G (x, у, f)] dy.
Положим
2d (M) = p ({x, V (x) < M), {x, У(х)ФУ (x)}).
Теорема 1.8. Пусть d (M) M‘/« > 2 (N— 2) и t0'= d(M)/2У Ж
Тогда справедлива оценка
|
|
|
|
|
N—2 |
|
|
|
|
sup а {х, t0) |
< |
1 |
4 |
( 2 |
Г |
/ |
/ Md( M) \ |
||
+ - Г (N12) |
PV |
2 |
J’ |
||||||
X |
|
||||||||
3 А . А . А рсен ьев |
33 |
Доказательствотеоремы разбивается на доказательство двух лемм.
Лемма 1.11. \/x£RN, О, 6 > 0 справедливо неравенство
О < а (х, t) < exp (— t min V (x -f £)) -j- § {sup I x (t) |> 6/2 у7}.
il:<6 |
o< t< i |
(1.48)
Доказательство леммы 1.11. Очевидны следующие не равенства
О< а (х, t) < j G (х, у, t) dy =
|
I |
_ |
|
|
= § {exp (— tj V (2Ytx{%) + x) dxjj < |
|
|||
|
о |
|
|
|
< exp (— t min V (x + £)) + $ { sup |x ( t ) |> 6/2 Vt}- |
||||
I6l<e |
|
0<T<1 |
|
|
Пусть 5 = {x, У(х)фУ(х)}. |
t^>0 |
справедливо |
неравенство |
|
Лемма 1.12. При \/x£RN, |
||||
a (x, t) < 8 {sup 12Vt x (t) |> p (x, S)}. |
(1-49) |
|||
0 < t < 1 |
|
|
|
|
Доказательство. Справедливо равенство |
|
|||
|
|
l |
_ |
|
a (x, t) = lim $ {exp {— 1j Vm (2 Yt x (x) + x) dxj X |
||||
X [ 1 — exp {— t j |
(Vm — VM) (2 Vt x (x) + x) c/xjjj < |
|||
о |
|
|
|
|
< l i m | { l — exp (— / f |
1 ~ |
|
_ |
|
(Vm— Vm ) (^V t x (x) + x) dx)\. (1.50) |
||||
|
|
|
|
\ |
Подынтегральное выражение |
при |
достаточно |
большом М |
|
отлично от нуля лишь для тех траекторий х(х), для которых
множество значений функции |
2]/ tx(x) +х,_0<;т-С 1 ) имеет |
общие точки с множеством S, т. |
е. sup | 2|/ tx(x) j^-p(x, S), |
что и доказывает лемму.
Положим D1 = {х, р (х, S)^>d(М)}, D2~ Rw\Dx. Ясно,
что D2cr Rn\ qm, причем p (Д2, {x, V (x)</H))>d (/И). Из оцен ки (1.49) получаем
V*6 Dlt t > 0 : а(х, t) < .$ {sup |х(х) |> d(М)/2|/7}.
34
Из оценки (1.48) при б — d(M) получаем
\/x £D2, t > 0 : а (х, t) < exp (— Ш) +
+ ё { sup |х (т) |> d(М)12V О-
0<т<1 .
Следовательно, \/x£RN, t> 0 ,
а (х, t) < exp (— Ш) + ё {sup |л:(т) |> d, (М)12 У t}.
Но |
|
|
|
|
|
|
ё { |
sup |
|х (т) |> а) < 2$ { |х (1) |> а} = |
||||
0 < т < 1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
4Г ( у ) ;1 |
|
|
|
|
< 4 Г ( - | ) |
’ aN~2exp (— а2), |
2а2> Я + 1 . |
||||
Поэтому при t0 = d (M)i2 УМ, |
d?M> |
2 (N + |
|
1), |
||
|
|
N \-i |
|
т—2 |
|
_ |
О< а (лг, *) < |
|
, d(M)M4’ \ 2 |
1 |
У Md (М)4 |
||
1 + 4 Г ( - ^ ) |
- ' ( ^ ^ ) ! |
е х р ( - ^ ” м ). |
||||
Теорема доказана.
§ 5. Полугруппа G(i)
Изучим свойства интегрального оператора
(G (t) ф) (х) = | G (х, у, t) ф (у) dy,
считая, что функция G(x, у, t) определена формулой (1.11). Напомним, что по определению ,Q={x, |V(х) |= оо}.
Теорема 1.9. 1) Интегральные операторы G(t) образу ют при ?>0 полугруппу в L'P, 1-^р-^.оо;
2) инфинитезимальный оператор полугруппы G(t) яв
ляется расширением оператора (—Н), заданного на финит ных в Rn'wQ, функциях формулой
(Яср) (х) = — Аф + V (х) ф;
3) в Lp(RnNQ), 1^ д < о о , полугруппа G(t) есть полу группа класса С0.
До к а з а т е л ь с т в о . Чтобы доказать первое' утвержде ние, теоремы, достаточно доказать, что каковы бы ни были
3* 35
h, 0 > 0, cpeLp, 1-<.Д<С°о, для почти всех x<^.RN выполнено равенство
(G (к) G(g cp) (x) = (G (k + fa) q>) (x).
При любом /> 0 |
и всех x^R N в силу оценок |
леммы 1.6 и |
теоремы Лебега |
|
|
|
(G (0 ф) (х) = lirn (GM(Оф) (jc) |
|
|
A f“ >oo |
|
и для всех М |
|
|
I (GM(О Ф) (х) |<C(t, |У(“ ) (х) |e) j G0(х, у, t) |Ф|(у) |dy < |
||
|
<С'||ф(у)|1Р< ° о , |
|
поэтому для всех х £ Rn |
|
|
(G (к + |
к) ф) (х) = lim (GM ik + к) ф) С*) = |
|
|
М -»ос |
|
= Пт (Ом (к) GM (к) Ф) М = (G (к) ■G (к) ф) (*)•• |
||
A f—»00 |
|
|
Итак, первое утверждение теоремы доказано. |
предположим, |
|
Для доказательства второго утверждения |
||
что функция ф(х) финитна в R^'^Q. Без ограничения общно сти мы предположим, что носитель функции ф(х) заключен внутри шара D0, причем р(До, iQ) =3d>0. Пусть Di — шар, концентричный шару D0 и расположенный на расстоянии 2d
от множества £1, D2 — |
шар, концентричный шару D0 и рас |
|||||
положенный на расстоянии d от множества й. Пусть |
|
|||||
ф(х, t) = j G( x , «/, t) ф(у) dy |
|
|
|
|||
|
(Й ) ( Х ) = 1 -Д ф + |
ГМФ. * 6 R » \ a |
|
|||
|
|
( 0, |
х € Q. |
|
||
Докажем, что при любом <76 11 > |
|
|
|
|||
. |
lim |
ф(*. t) —ф(х) |
+ Ш ( Х ) |
= 0 . |
(1.51) |
|
(->+0 |
t |
|
q |
|
||
Так как функция ф(х) |
финитна |
в Dx, то (Яф) = 0, х Dx и |
||||
справедливо равенство1 |
ф(х, t) —ф(х) |
|
я |
|||
ф(х, Q —ф(х) |
|
+ (Яф) (X) |
||||
t |
+ |
(Йф)МГя |
t |
Vq(Dl) + |
||
|
|
|
|
я |
|
(1.52) |
|
|
+ ( - f ) ?IM*, OilLq(RN\Dt) |
||||
1 Если 9 =оо, |
то это равенство заменяется на неравенство и норма берет- |
|||||
ся не в степени q, |
а в первой степени. |
|
|
|||
36
