Файл: Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник.pdf

2.Спироидальные линейчатые поверхности

снаправляющей плоскостью

Покажем построение спироидальных по­ верхностей с направляющей плоскостью, сохраняя, как и для ротативных поверхнос­ тей, в задании неподвижный аксоид-ци- линдр и производящую прямую линию в ее начальном положении. Производящая пря­ м а я линия поверхности располагается в плоскости, перпендикулярной одновременно к направляющей плоскости и плоскости, ка­ сательной к аксоиду-цилиндру.

П о д в и ж н ы м аксоидом является плос­ кость, касательная к неподвижному аксоидуцилиндру. П р и обкатывании неподвижного аксоида она скользит вдоль его образующих.

На рис. 495 показан чертеж спироидальной поверхности с направляющей плоско­ стью Qv, параллельной горизонтальной плоскости проекций Н.

Неподвижным аксоидом является гори­ зонтально-проецирующий цилиндр. Произ ­ водящая прямая линия ab, а'Ь' (начальное ее положение) поверхности составляет с на­ правляющей плоскостью Qv угол а. Она Лежит в плоскости, которая перпендикулярна

Повторяя построения для ряда других положений производящей линии, найдем недостающие фронтальные проекции поло­ жений производящей и ходов ее точек. П о ­ ложениями производящей прямой линии и ходами ее точек на поверхности наметится сеть, которая будет получебышевской сетью.

ной поверхности изменяется при переходе производящей прямой линии из одного ее положения в другое. Величина винтового параметра поверхности для намеченного по­ ложения производящей прямой линии опре­ деляется тангенсом угла наклона к оси абсцисс касательной к кривой линии графика h=flß). График р=фф) показывает изме­ нение винтового параметра поверхности в зависимости от угла ß поворота касательной плоскости N H .

С п и р о и д а л ь н ую поверхность с направ­ ляющей плоскостью можно рассматривать как составную, состоящую из бесконечно большого числа бесконечно малых отсеков поверхностей косых геликоидов. Осями этих геликоидов служат соответствующие обра­ зующие неподвижного аксоида, а их винто­ вые параметры равны для соответствую­ щего положения производящей линии пара­ метрам спироидальной поверхности.

Эксцентриситеты слагаемых геликоидов равны радиусам кривизны проекции на на­ правляющую плоскость линии сужения спи­ роидальной поверхности.

Положения производящей линии рас­ сматриваемой поверхности можно получить при качении со скольжением касательной плоскости вдоль образующих цилиндра, на­ правляющей линией которого служит линия

строения цилиндрической линейчатой спи­ роидальной улитки. Производящая прямая линия поверхности находится в касательной плоскости к цилиндру с направляющей ли­ нией ей, е'и' и направлением образующих тп, т'п'; она имеет постоянный угол на­ клона а к горизонтальной направляющей плоскости Qv.

Плоскость производящей линии обкаты­ вает цилиндр со скольжением. Зависимость величины скольжения /ь от угла ß поворота

возврата вспомогательной поверхности оди­ накового ската. Спироидальная поверхность пересекается плоскостью Qv по кривой ли­ нии сЪ, с'Ь'.

Расстояния / между горизонтальными проекциями соответствующих точек кривых линий ab, а'Ь' и сЬ, с'Ь' можно получить из формулы / = hs -ctg et, где hs—величина скольжения для рассматриваемого положе­ ния производящей линии, заданная графи­ ком hs = f(ß).

Фронтальные проекции ряда положений производящей линии определяются по ус­ ловию параллельности их проекциям ряда соответствующих положений производящей линии вспомогательной поверхности одина­ кового ската. Геометрическим местом точек пересечения различных положений произво­ дящей линии с образующими аксоида-ци- линдра является кривая линия ек, е'к' — линия сужения линейчатой спироидальной улитки.

Спироидальную поверхность можно об­ разовать также, если за неподвижный аксоид принять цилиндр с направляющей линией еоко— эволютой кривой линии ек, а за на­ правление образующих — вертикальную прямую тп, т'п'.

С касательной плоскостью этого цилинд­ ра неизменно связывается производящая прямая линия. Касательная плоскость ка­ тится по цилиндру со скольжением. Величину скольжения hs можно определить из отно ­ шения hs = h — hr.

При таком образовании поверхности рас­ сматриваем ее как составную, состоящую из

бесконечно малых отсеков бесконечно боль­ шого числа слагаемых косых геликоидов, эксцентриситеты которых равны радиусам кривизны кривой линии.

Рассмотрены два вида задания поверх­ ностей с направляющей плоскостью. В пер­ вом случае поверхности с направляющей

плоскостью заданы двумя направляющими линиями, направляющей плоскостью и уг­

ло м а наклона производящей прямой линии

кнаправляющей плоскости.

Во втором случае поверхности с направ­ ляющей плоскостью общего вида заданы неподвижным аксоидом-цилиндром; началь-

н ым положением производящей прямой ли­ нии, лежащей в плоскости, перпендикуляр­ ной к направляющей плоскости и плоскости,

щей плоскостью пример перехода от одного вида их задания к другому.

Н а рис. 497 поверхность с направляю­ щей плоскостью задана двумя направляю ­ щими кривыми линиями ab, а'Ь' и cd, e'd', направляющей плоскостью Qv и углом а наклона производящей прямой линии к на­ правляющей плоскости.

При этом задании можно построить ли­ нию сужения ей, е'и'. Эволюту eouo горизон­

тальной проекции ей линии сужения можно 379 представить, согласно второму способу за­ дания, проекцией направляющей линии не­ подвижного аксоида-цилиндра, направлени­ ем образующих которого является прямая тп, т'п', перпендикулярная к направляющей плоскости Qv-

Величину скольжения h можно опреде­ лить, пользуясь фронтальной проекцией ли­ нии сужения. Ее можно выразить графиком h = F(ß) зависимости ее от угла ß поворота касательной плоскости вокруг неподвижного аксоида. Таким образом, исходя из первого задания поверхности, можно получить все данные для второго задания этой же поверх­ ности.

Третья направляющая FK определяет

образующей и показываем последователь­ ные ф о р м ы образующей, которые она при­

и строим остальные положения образую­ щей.

Указанными построениями определяется поверхность.

Кплоскости Р\, содержащей директрису,

мо ж н о привязать не только плоскую, но и пространственную кривую, а также и л ю б у ю поверхность.

Накладывая дополнительные условия на элементы общего задания поверхностей,

можно получить различные конкретные виды поверхностей.

Рассмотренный способ образования по­ верхности общего вида как следа плоской или пространственной кривой, а также как огибающей перемещающейся в пространстве образующей поверхности, находит широкое применение в практике конструирования по­ верхностей.

Циклическая поверхность с переменной