Файл: Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах.pdf

а именно возникновение новых электронных «карманов» на поверх­ ности Ферми, которое может происходить при уменьшении объема системы. Они нашли, что свободная энергия зависит от объема как (у — У 0 ) 6 / 2 - Эта зависимость также может быть иллюстрирована фиг. 5.6; здесь возможно равновесие двух фаз ниже критической точки. В этом случае переходы без разрыва можно наблюдать

'о V

А

(1

Ф п г. 5.6. Зависимость свободной энергии от удельного объема для не­ металла.

а — при давлении, равном н у л ю ; б — при давлении, при котором происходит фазовый переход; vo — значение удельного объема, при котором возникает переход металл —

неметалл.

только при температурах выше критической точки. С другой сто­ роны, как мы обсуждали в 5.1, существует много случаев перехода Вильсона, когда разрывное поведение отсутствует.

Во всяком случае, проблема непрерывного изменения v или а интересна с теоретической точки зрения и ее можно исследовать на примере примесного полупроводника. В настоящее время неиз­ вестно, будет ли в этой модели происходить разрывное изменение концентрации п как функции а или нет. Кон [283] предложил модель, в которой при изменении а не происходит разрывного изменения п. Однако модель Кона приводит к возникновению вбли­ зи точки перехода бесконечной последовательности переходов вто­ рого рода, благодаря чему п [и е2 , определяемая согласно (5.4)] непрерывно обращается в нуль. Мотт и Дэвис [377] указали, что в этой модели возможно обращение в нуль диэлектрической вос­ приимчивости х на неметаллической стороне перехода, вследствие чего концентрация п на металлической стороне будет равна нулю в непосредственной близости от перехода. Мы обсудим этот вопрос ниже.

При переходе может происходить изменение параметра решетки или ее структуры, поэтому модель жесткой решетки будет опре­ деленно справедлива только в случае примесных полупроводников с большой диэлектрической проницаемостью, аналогичных гер­ манию. В этом случае параметр а изменяется за счет изменения концентрации доноров. Силы, действующие на решетку со стороны электронов в примесной зоне, несомненно, будут пренебрежимо малы; имеется, однако, дополнительная сложность, связанная со

144 Глава 5

случайным распределением положений атомов примеси. Этот при­ мер мы рассмотрим в 5.10.

5.7. КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ ВИГИЕРА

Прежде чем рассматривать переход, обсудим работу Вигиера 1540], в которой изучался электронный газ, погруженный в «желе», т. е. в однородный континуум равномерно распределенного поло­ жительного заряда. Вигнер предсказал, что при малой плотности электронного газа происходит его кристаллизация, при которой электронный газ переходит в непроводящее состояние. В этом со­ стоянии каждый электрон описывается локализованной волновой функцией типа ехр {(—г/г0 )3 }, где r„ ~ 1/п. Решетка, которую обра­ зуют локализованные электроны, антиферромагнитна. Перекры­ тие узельных волновых функций мало, так что вклад члена е2 /г1 2 в случае вигнеровского кристалла меньше, чем в случае металла. С другой стороны, однако, вследствие локализации возникает член кинетической энергии, по порядку величины равный %2л2/тг1. Оценка концентрации п, при которой происходит кри­ сталлизация, является довольно грубой [362]:

n^aH = 0,08.

Для вигнеровского «кристалла» можно установить следующие свойства. В приближении Хартри — Фока система подобна изо­ лятору Мотта — Хаббарда; волновые функции электронов с про­ тивоположными проекциями спина показаны на фиг. 5.7. Потен­

циальная энергия электрона в центре каждой ямы имеет величину

Ч2агг, где

4я

а = - г р е ,

здесь р — плотность заряда «желе». Свободные носители возника­ ют лишь в результате активационного процесса, энергия которого Е порядка пЧ^/к. Когда температура кТ поднимается до величины порядка Е, то происходит определенная разновидность фазового перехода системы в состояние невырожденного электронного газа. Более детально теория этого явления не разработана..

Кристаллизация Вигнера не наблюдалась на опыте, поскольку трудно получить материал, обладающий свойствами желе. Им мог бы быть в принципе германий с высокой концентрацией доноров и акцепторов, почти компенсирующих друг друга, так что параметр компенсации К близок к единице, 1 — К <С 1. Этот материал будет хорошим приближением к пределу желе, если рас­ стояние между центрами мало по сравнению с боровским радиу­ сом ан.

В кристаллах с неравными концентрациями носителей обоих знаков возникает явление, близкое к вигиеровской кристалли-

в реальной решетке антиферромагнетизм представляется более вероятным. Некоторые примеры будут рассмотрены в 5.10. Мы пред­ лагаем в качестве догадки следующую картину изменений, которые происходят при уменьшении плотности электронов. Сначала уста­ навливается волна спиновой плотности типа оверхаузеровской. Ее амплитуда возрастает с а. Волновое число таково, что плот­ ности, на которых существуют разрывы энергии, разделяют к- пространство на две зоны, причем ферми-поверхность проходит через обе зоны. С ростом а разрывы энергий возрастают, а кон­ центрации электронов и дырок все более и более убывают, как это имеет место вблизи переходов Мотта.

5.8. ЭКСПТОННЫЙ ИЗОЛЯТОР

Как отмечалось в 5.1, переход металл — неметалл для кубиче­ ского двухвалентного металла будет иметь место, если какойлибо параметр, влияющий на ширину запрещенной зоны (например, постоянная решетки), изменяется непрерывно. Мы назвали такой переход переходом Вильсона в соответствии с вильсоновской клас­ сификацией [541] твердых тел на проводники и изоляторы в духе модели невзаимодействующих электронов.

Вблизи перехода на металлической стороне концентрации электронов и дырок будут малы. Мотт [362] указал, что это невозможно; кулоновское притяжение электронов п дырок, энергия которого равна — е 2 /хг, приведет к образованию пар с энергией связи

(5-7)

Мотт высказал соображение, что переход в такой системе будет сопровождаться скачком концентрации. Состояние, в котором существует небольшое перекрытие двух зон, т. е. состояние, кото­ рое могло бы соответствовать полуметаллу, если бы не образова­ ние электронно-дырочных пар, называется жситонным изолятором. Оно весьма интенсивно изучалось теоретически. Как впервые отме­ тил Нокс [280], аналогичная ситуация может возникнуть в полу­ проводнике с конечной шириной запрещенной зоны ЬЕ, если АЕ окажется меньше, чем энергия связи экситона (5.7). В этом случае экситоны будут образовываться спонтанно.

Эти концепции были детально разработаны Келдышем и Копаевым [275], Де Клуазо [127], Коном [283], Гальперином и Райсом [224] и другими. Названные авторы изучили бозе-конденсацшо экситонов, т. е. электронно-дырочных пар, которые образуют неме­ таллическую систему, называемую жситонным изолятором. l i e давая детального обзора этих исследований, отметим только два обстоятельства.