Файл: Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах.pdf

Здесь qn обозначают координаты п-го электрона, включая спин. Лишний электрон может двигаться по кристаллу, поэтому соб­ ственные функции системы должны иметь форму

2exp(tk-a>)40. (5.1)

i

Суммирование здесь производится по половине атомов антиферро­ магнитной цепочки, поскольку электрон может находиться только

Ф п г. 5.1. Электронные спины цепочки водородоподобных атомов.

а — атиферромагннтная цепочка, все атомы которой являются нейтральными; б — та же цепочка, в которой атом с номером j содержит лишний электрон; в — на атоме i отсут ­ ствует электрон (имеется дырка); г — ЛИШНИЙ электрон на атоме 5 п дырка на атоме i .

на тех атомах, спины которых антипараллельны его спину. Энер­ гии W [к) состояний (5.1) будут образовывать узкую зону, ширину которой обозначим через 2 / . В приближении сильной связи для одномерного случая энергия . W (к) имеет вид

/ = J 4 7 # Y / + 2 d g i , . . . . dqN+i.

Обобщение на трехмерный случай может быть проведено так же, :как это делается в разд. 2.4.

Аналогично можно удалить электрон с атома i , так что остается дырка, как это можно видеть на фиг. 5.1, в. Обозначим волновую функцию такого состояния через

"¥-(q, g w _ t ) .

Вследствие движения дырки собственная функция с волновым век­ тором к' будет иметь вид

г

Как и для электрона, энергия дырки будет лежать в зоне, ширину которой обозначим через 2 / ' .

Рассмотрим теперь ситуацию, отраженную на фиг. 5.1, г, где электрон взят с атома i и помещен на достаточно удаленный атом j . Если удаление этих атомов друг от друга предельно велико, то энергия е, необходимая для образования такого состояния, будет иметь вид

г = I - Е.

Если же учесть конечные значения ширин электронной и дырочной зон, то энергия е будет лежать в пределах

I — Е ± J ± J '

в зависимости от значений волновых векторов к и к ' . Пока мини­ мальное значение е положительно, можно ожидать, что материал будет собственным полупроводником и число носителей будет зависеть от температуры как ехр (—1 /2 е//сГ). При Г—s- 0 прово­ димость будет стремиться к нулю. Однако с уменьшением пара­ метра цепочки а величины / , J ' возрастают, и когда атомы сбли­ зятся настолько, что энергия активации носителей тока е обратит­ ся в нуль, вещество будет вести себя как металл.

Это элементарное описание перехода металл — изолятор тре­ бует уточнения в нескольких отношениях. Прежде всего нужно доказать, что состояние, показанное на фиг. 5.1, а, действительно описывает изолятор; в теории невзаимодействующих электронов оно характеризует металл. Качественные соображения в пользу этого были высказаны Моттом [361, 362], а формальное доказатель­ ство дано Коном [282]. Теория Хаббарда [253] и дальнейшие выте­ кающие из нее работы, описывающие изоляторное состояние, будут рассмотрены в разд. 5.4. В работе Хаббарда была впервые получена щель в энергетическом спектре квазичастиц. Минимальную энер­ гию е2 , необходимую для возбуждения системы и определяемую соотношением

Изоляторные свойства обсуждаемого состояния часто связы­ вают с расщеплением зоны антиферромагнитной сверхрешеткой, в результате чего возникают две подзоны: одна пустая и одна заполненная. В следующем разделе мы опишем такой подход. Далее следует подчеркнуть, что число состояний для электрона

134 Глава 5

с любой проекцией спиыа, определяемых формулой (5.1) и иллю­ стрируемых фиг. 5.1, б, равно N/2, так как только половина атомов доступна для электрона с данной проекцией спина, а именно те, у которых электроны имеют противоположное направление спина.

Распространим теперь эту модель на случай аптиферромагнптных соединений переходных металлов, в которых каждый ион содержит не один s-электрон, а несколько d-электронов в со­ стояниях, полный спин которых определяется правилом Хунда. Рассмотрим окись никеля. В этом случае щель Мотта — Хаббарда

ности. Эта дырка способна двигаться по кристаллу (гл. 4). Волно­ вая функция движущейся дырки имеет вид (5.3) 2 ) .

Имеется, правда, и различие между окисью никеля и цепочкой атомов, электроны которых находятся в «-состояниях; эта разница

иллюстрируется фиг. 5.2. Электроп может перескочить с узла С

N i 3 + будет находиться в состоянии с четырьмя спинами вниз и тре­ мя вверх. Это состояние, согласно правилу Хунда, должно быть возбужденным состоянием; соответствующую энергию возбуж­ дения мы обозначим через Как отметили Бринкмаи и Райе [67], можно избежать такого изменения энергии электрона прово­ димости, если построить состояния, содержащие антисимметрич­ ные орбитальные волновые функции и симметричные спиновые функции. Однако наличие антиферромагнитиой решетки приведет к расщеплению зоны на две подзоны с числом состояний N/2 для каждого направления спина. В случае невырожденного «-состоя­

связан, по-видимому, с возбуждением электрона иоиа никеля из состояния

2 ) Эффективная масса дырки очень сильно возрастает за счет образова­ ния поляропа (см. гл. 4).

Последнее заключение не сохраняет силы, если носитель влия­ ет на ориентацию спинов соседних атомов. Это важное обстоя­ тельство подробно обсуждается в гл. 4 и 6 (см. также [67, 125, 385]). Мы будем различать два случая.

а) Область больших значений параметра решетки а, - когда вещество находится далеко от перехода в изоляторном состоянии. В этом случае интеграл перекрытия / (между ближайшими сосе­ дями) будет.мал, а члены, описывающие связь между моментами подрешеток и определяющие температуру Нееля, будут более высокого порядка малости / 2 / ( / — Е). Носитель ориентирует мо­ менты атомов, расположенных вблизи него, параллельно своему спину в области с радиусом ?*р. Носитель будет свободно переме­ щаться по решетке и при этом он никогда не попадет в области, где спины окружающих атомов аитипараллельны его собственному.

В случае невырожденных состояний, таких, как s-орбитали, ситуация оказывается несколько иной. Как было отмечено в рабо­ те Нагаока [385], в этом случае моменты атомов в спиновом поляроне, возникающем вблизи лишнего электрона, оказываются анти­ параллельными его спину.

б) Окрестность перехода металл — неметалл (а ~ а0). На при­ мере одномерной решетки атомов, имеющих электрон в s-состоянии, можно убедиться, что при а ~ а0 энергии / , / — Е и антиферромагиитиая константа связи имеют одинаковый порядок величины. Поэтому при а ~ а0 не следует ожидать заметного влияния носите­ ля на спины окружающих его атомов.

5.3. ЗОННОЕ ОПИСАНИЕ ИЗОЛЯТОРОВ МОТТА — ХАББАРДА

Слэтер [462] впервые дал следующее описание антиферромагнитиого диэлектрика. Рассмотрим кристаллическую решетку из одиоэлектронных атомов, находящихся в s-состояниях. Предполо­ жим, что при больших значениях параметра решетки а возникает аитиферромагнитиое упорядочение спинов, результатом которого является расщепление 6-зоны. Тогда, если расщепление достаточно велико, нижняя подзона будет заполненной, а верхняя — пустой, и вещество будет неметаллом.

Следует отметить, что вещество типа NiO остается неметаллом и выше температуры Нееля, однако это возражение против пред­ ложенной модели нельзя считать неоспоримым. Выше темпера­ туры Нееля электрон по-разиому взаимодействует с атомами, спины которых ориентированы вверх или вниз (относительно его спина), хотя такие атомы и распределены в кристалле случайным образом. Ситуация напоминает случай неупорядоченного сплава, и энерге-