Файл: Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах.pdf

Ниже о этой главе мы увидим, что нельзя считать решенным вопрос в том, действительно ли происходит непрерывный рост числа носителей с ростом величины {а0 — а), как это следует из обсуж­ даемой модели. Исходная гипотеза Мотта [360, 362] приводила к заключению о том, что этот переход имеет разрывный характер. В более поздннх работах, в частности в работе Кона [283], предлолагалось, что возможен и другой случай; аргументы в пользу такого случая мы обсудим ниже.

При изучении металлического состояния возникает вопрос об упорядочении спинов носителей. В модели предполагается суще­ ствование антиферромагнитного дальнего порядка, по крайней мере в некоторой области вблизи перехода. Однако по мере уменьшения величины а система должна в некоторый момент приобрести свой­ ства нормального металла, подобного натрию, в котором отсутст­ вует дальний магнитный порядок. Возникает вопрос: при каком значении а это происходит и будет ли переход разрывным или не­ прерывным? Определенного ответа на этот вопрос нет и все после­ дующие рассуждения по этому поводу носят умозрительный харак­ тер.

Едва ли приходится сомневаться в том, что существует опре­ деленная область с магнитным порядком на металлической стороне перехода металл — неметалл. Если антиферромагиптиая связь сильна, как это должно быть в идеальном случае цепочки водородоподобных центров, то магнитное упорядочение должно сущест­ вовать в широкой области значений параметра а и будет исчезать -скорее всего непрерывным образом. Можно полагать, что так обсто­ ит дело в примесных полупроводниках. Весьма важным является вопрос о том, является ли исчезновение магнитного порядка пере­ ходом первого пли второго рода. В теории Ландау [303] предпола­ гается, что это переход второго рода. Ландау принимает во внима­ ние, что энергия Е должна быть четной функцией магнитного мо­ мента М

Е = AM2 + ВМ*+ . . .

Магнитный момент обращается в нуль, когда параметр А меняет знак, так что вблизи перехода величина М изменяется как (—AlBy-l*, т. е. пропорционально {а — а 0 ) 1 / 2 . Однако благодаря влиянию членов более высокого порядка фазовый переход может стать и переходом первого рода. Наше неявное заключение [382] •состоит в том, что возможны оба рода фазовых переходов в зави­ симости от вида функции плотности состояний, т. е. мы допускаем, что переход металл — изолятор может быть переходом первого рода.

В предыдущем обсуждении мы пренебрегали дальиодействующими кулоновскими силами между электроном и дыркой. Во мно­ гих работах, последовавших за работой Мотта [360], подчеркива-

лось, что если учесть такое взаимодействие, то очень малые кон­ центрации свободных электронов и дырок окажутся невозможны­ ми, поскольку неэкранированное кулоновское взаимодействие типа —е2/кг12 всегда приводит к образованию связанной пары, ана­ логичной позитронию. По этой причине требуется модификация модели Нисимуры, в которой число носителей непрерывно стре­ мится к нулю по мере приближения к переходу. Как мы увидим в 5.8, вблизи перехода могут возникать многие сложные явления. Однако они могут быть замаскированы, если вблизи перехода про­ исходит разрывное изменение параметра решетки и кристалличе­ ской структуры.

Если не касаться этих усложнений, то необходимо подчеркнуть следующие выводы:

а) На металлической стороне перехода ожидается существова­ ние антиферромагнитиой решетки с сильной антиферромагнитной связью. Благодаря перекрытию орбиталей наблюдаемый момент атома может быть меньше, чем момент свободного иона.

б) Вблизи перехода на металлической стороне должна иметь место малая концентрация носителей обоих знаков, так что из постоянной Холла может получиться существенно меньшая кон­ центрация, чем в действительности. Плотность состояний на поверх­ ности Ферми N ( E F ) также должна быть очень мала в точке пере­ хода.

в) На металлической стороне перехода должно существовать спиновое упорядочение вплоть до некоторого критического зна­ чения параметра решетки а1, меньшего, чем параметр решетки а0 при переходе металл — неметалл.

г) Если намагниченность исчезает в процессе перехода первого рода, то возможно, что переход металл — неметалл будет перехо­ дом первого рода.

5.5.ГАМИЛЬТОНИАН ХАББАРДА

Хаббард [253] ввел следующий гамильтониан:

2 (Л) (citcJt - f - C i | c n ) + w (пцпч)},

i

где J о — ширина энергетической зоны электронов без учета кор­ реляции (т. е. / 0 не совпадает с величинами / и / ' , которые исполь­ зовались в предыдущих параграфах). Оператор с; уничтожает электрон на атоме в положении i\ состояние j является ближайшим соседом для i. Оператор числа электронов имеет вид

Суммирование проводится по всем положениям атомов. Учет кор­ реляции содержится в предположении о том, что если на одном

Бринкман и Райе [68] исследовали степень корреляции, суще­ ствующей перед возникновением магнитного порядка, и нашли, что она высока: только 5—10% атомов заполнены двумя электронами.

N(EF)

,I Уменьшение а —»

WlJg- -

Ф и г. 5.5. Завпсттмость плотности состояний на уровне Ферми от постоян­ ной решетки а в модели Хаббарда.

Благодаря этому проводимость кристалла будет низкой и посколь­ ку площадь ферми-поверхности не изменяется [329], Бринкман и Райе пришли к заключению о том, что эффективная масса носи­ телей возрастает вследствие корреляции.

5.6.ВЛИЯНИЕ ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИХ СИЛ

Ни модель Нисимуры, ни модель Хаббарда не учитывают вли­ яния дальнодействующих кулоновских сил, которое было отправ­ ной точкой для первоначального подхода Мотта [360, 361, 367]. Для случая примесного полупроводника мы учтем взаимодействие электрона и дырки в виде члена — е2 /иг1 2 , где к — диэлектрическая проницаемость чистого полупроводника. Как мы уже обсуждали, свободная пара носителей типа показанной на фиг. 5.1, г не может существовать в основном состоянии, поскольку потенциальная энергия V (г) на больших расстояниях г ведет себя как

благодаря чему возникает возможность образования связанного состояния электрона и дырки с энергией связи порядка m.*e4 /2/i2 x2 . Следовательно, малая концентрация свободных носителей оказы­ вается невозможной; концентрация п должна быть конечной. Кулоновское взаимодействие заменится экранированным потенциалом

V ( r ) « — - J e x p ( — yr),

а концентрация электронов и константа экранирования у должны быть настолько велики, чтобы в экранированной яме не помеща­ лось связанное состояние. Используя распределение Томаса —

Ферми, можно получить выражение для константы экранирования

Условие отсутствия связанных состояний в экранированной потен­ циальной яме г ) имеет следующий вид [362]2 ):

уан > 1 , 0 . . ., где ан — боровский радиус

ft2%

Отсюда получается следующее выражение для числа атомов в еди­ нице объема, при котором происходит переход металл — неметалл:

Этот результат очень близок к величине, вытекающей из формулы Хаббарда (5.4) [369]. Он хорошо согласуется с экспериментальны­ ми данными для концентрации доноров, при которой происходит переход в легированных полупроводниках, как это показано в гл. 6.. Приведенный выше вывод очевидным образом предсказывает раз­ рывное изменение концентрации носителей п, когда а проходит через значение, соответствующее переходу. Согласно моделям Хаб­ барда и Нисимуры, изменение концентрации должно быть непре­ рывным. Однако можно получить п непрерывное изменение кон­ центрации в приведенном выводе, если допустить, что в точке пере­ хода диэлектрическая проницаемость к обращается в бесконечность. Как мы увидим ниже, это возможно.

При экспериментальном определении поведения кристалла вблизи точки перехода могут возникнуть трудности. Дело в том, что при Т = 0 можно изменять параметр решетки кристалла толь­ ко за счет изменения давления, и может оказаться, что энергия перехода металл — неметалл велика, как это показано на фиг. 5.6, а, где двум фазам соответствуют два минимума на кривой зави­ симости свободной энергии от объема. Переход будет происходитьтолько при таком давлении, когда оба минимума окажутся на од­ ной горизонтали (фиг. 5.6, б), и при этом весь интервал значений: удельного объема между точками А и В окажется недоступным для наблюдения. Ситуация может осложниться также изменением кри­ сталлической структуры при переходе.

г ) В любой одномерной яме имеется связанное состояние. Поэтому можно считать, что существование одномерного металла невозможно. Это заключение подтверждается анализом Либа и B y [317].

2 ) В работе Гультена и Лаурикайнена [254] получено значение 1,19 вместо 1,0.