Файл: Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах.pdf

(незаполненные) (фиг. 6.3). Обычно считается, что разброс энерге­ тических уровней доноров связан со случайными электрическими нолями заряженных акцепторов и имеет порядок величины e2/xRA, где RA — среднее расстояние между акцепторами, однако мы уви­ дим, что и заряженные доноры также могут играть роль. Благодаря

Зона

проводимости

Доноры

е

е

А

Заряженные

акцепторы

Валентная

зона

Ф п г. 6.2. Энергетические уровни в легированном и компенсированном полу­

проводнике п-типа.

Перенос носителей осуществляется путем перескока (термически активированного туннелированпя) электрона с занятого центра А на пустой центр В.

разбросу уровней электрон может перемещаться от одного центра к другому, только поглощая или испуская фононы. При низких температурах будут преобладать процессы, проходящие с погло­ щением фононов, что приводит к возникновению активациониой

зависимости с энергией активации е3 , которая имеет порядок величины среднего разброса энергетических уровней доноров. Аналогичная картина справедлива и для компенсированного полу­ проводника р-типа, у которого i V A > ND.

Выше, в гл. 5, мы отмечали, что проводимость по примесям может иметь место обычно только на изоляторной стороне перехода

металл — неметалл, когда центры достаточно удалены друг от друга. С другой стороны, существует некоторое перекрытие вол­ новых фуикций электрона на этих центрах, благодаря которому происходит туннелирование. Вследствие туннелирования может образоваться зона, соответствующая перемещению электрона по занятым донорным центрам. Однако вдали от перехода металл — неметалл, на изоляторной стороне, величина щели Мотта — Хаб­ барда е2 /г1 2 , обусловленная отталкиванием электронов, находя­ щихся на одном атоме, будет больше ширины зоны. Другими сло­ вами, энергия е2 , необходимая для перемещения электрона с одно­ го донора на соседний, где уже находится другой электрон, оказы­ вается значительно больше ширины зоны. Щель е2 отделяет зону,

N(E)

соответствующую движению по занятым центрам [зона е2 , с зако­ ном дисперсии (5.2)], от обсуждавшейся выше примесной зоны, которая соответствует перескокам электрона на пустые центры. Плотность состояний схематически изображена на фиг. 6.4, где представлены обе примесные зоны; каждая из них содержит одно состояние в расчете на один донорный центр. В компенсированном полупроводнике уровень Ферми расположен в нижней зоне, где перенос электрона происходит путем перескоков с энергией акти­ вации е3 , мы назовем эту зону «зоной е3 ». Обозначим через et энергию активации электрона с уровня Ферми в зону проводимо­ сти. В веществах, исследованных экспериментально [121, 185], энергии е 2 и е 3 настолько сильно различаются, что не могут быть измерены на одном и том же образце.

Характер проводимости в зоне е 2 будет различным в зависимо­ сти от того, выполняется или нет условие Андерсона. Если оно выполняется, то перенос электронов будет осуществляться пере­ скоками, если же нет, то волновые функции будут делокализованными, и перенос будет иметь обычный зонный характер. Как пока-

зал Поллак [417], именно такой случай имел место в материалах, на которых Д'Алтрой и Фэн [117] провели измерения высокочастот­ ной проводимости.

Обсудим происхождение энергии активации для перескоков е3 . Если бы центры были расположены в узлах кристаллической ре­ шетки, то зона е3 имела бы ширину / , которую можно рассчитать на основе приближения сильной связи, как это сделано в гл. 5. Хаотическое расположение примесных центров приводит, как было показано в гл. 2, к дополнительному уширеиию зоны. Однако наиболее важное следствие случайного распределения центров заключается в появлении случайного потенциала U0 (ср. 2.4), обусловленного наличием заряженных акцепторов. Уширеиие, обусловленное учетом этого фактора, показано на фиг. 6.2. Как установлено Тузом [381, 513], эта ситуация представляет, собой простой пример локализации Андерсона, отличающейся от его исходной модели (гл. 2) только тем, что центры расположены бес­ порядочно. Согласно Андерсону, при U0 > 5 / в с е состояния в при­ месной зоне должны быть локализованными. Возникает вопрос, во всех ли случаях выполнение этого условия приводит к андерсоновской локализации на неметаллической стороне перехода ме­ талл — неметалл. В 6.3 будут представлены соображения, позво­ ляющие считать, что это действительно так во всех интересующих

В этом случае свободные носители (дырки в нижней подзоне на фиг. 6.4) будут захвачены заряженными акцепторами с энергией связи порядка e2/xRD. Материал в этом случае подобен узкозон­ ному примесному полупроводнику и проводимость не будет носить перескоковый характер, если только случайные флуктуации доно­

активации е3 , когда андерсоновская локализация еще не была поня­ та. Насколько нам известно, экспериментальные подтверждения реализации такой модели отсутствуют. Наиболее прямым доказа­ тельством было бы' наблюдение термо-э. д. с , которая должна быть равна (к/е) г3/2кТ для такой модели, тогда как для термиче­ ски активированных перескоков она должна быть постоянной при низких температурах (см. 2.9.3). Другое доказательство можно получить, изучая высокочастотную проводимость [417].

Модель термически активированных перескоков была впервые рассмотрена в работах Туза [513] и Миллера и Абрахамса 1350, 351]. Большинство экспериментальных результатов, относящихся

к проводимости по примесям, несомненно, описывается этой мо­ делью, и ниже она будет рассмотрена.

6.2. МОДЕЛИ ТУЗА И МИЛЛЕРА I I АБРАХАМСА

В теории Миллера и Абрахамса предполагается сильная лока­ лизация носителей, так что волновые функции локализованных состояний почти совпадают с функциями изолированных центров и перекрытие считается малым. Расчет содержит три этапа.

а) Вычисление вероятности р перехода носителя с одного цент­ ра на другой. Переход между этими центрами происходит с уча­ стием фоионов, поскольку существует разность WD энергий этих центров. Такая задача рассматривалась в разделах 2.9.1 и 4.3. Ответ может быть получен с помощью выражения (4.7), если поло­

р 0 — плотность, R — расстояние между центрами. Волновая функ­ ция центра предполагалась сферически симметричной, убывающей с расстоянием как ехр (—аг). Радиус центра 1/а гораздо больше

женно и его численное значение может варьироваться в широких пределах. Кроме того, может оказаться, что несправедливы пред­ положения, положенные в основу сделанных приближений.

б) Усреднение подвижности по всем значениям разности энер­ гий доиорных уровней WD. В результате усреднения получается энергия активации перескоков е3 .

В работе Миллера и Абрахамса предполагается, что электроны перескакивают только на ближайший центр, поскольку множитель ехр ( — 2 a R ) очень сильно убывает с расстоянием. В этом случае, согласно (2.37), имеем WD ~ IN (EF) 7?ЬН - В разд 2.9.1 подчер­ кивалось, что такое допущение не справедливо для предельно низ­ ких температур; в этом случае наиболее вероятны переходы на центры, где минимальна величина разности WD, хотя такие центры и более удалены. В этой области температур, согласно теории, величина In р пропорциональна T~ifi. В германии и кремнии такой

Миллер и Абрахаме получили следующее выражение для энергии

168 Глава 6

активации перескоков 1 ) :

где i? д и R A — средние расстояния между донорами и акцепторами определенные так, что

малых по сравнению с единицей, представляет собой более слож­ ную задачу. Результаты расчета, выполненного Миллером и Абрахамсом, показаны на фиг. 6.5 сплошной линией 2 ) . Как показано в следующем разделе, в случае малой величины перекрытия энер-

1,5 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

а №

I

а

3

Ф п г. 6.5. Зависимость энергии активации е3 от степени компенсации К, рассчитанная на основании соотношения (6.2) при ND = 2,66 - 10 1 6 с м - 3

(сплошная кривая).

К р у ж к а м и отмечены экспериментальные точки [381] .

*) Это выражение ошибочно. Правильная формула, полученная в работе Шкловского, Эфроса и Янчева [765], имеет вид

Вопросы перескоковой проводимости по примесям в полупроводниках обсуждаются в недавно опубликованном обзоре Шкловского [762].— Прим. перев.

2 ) Этот расчет нам представляется также неправильным. Обсуждение этого вопроса дано в обзоре Шкловского [762].— Прим. перев.