Файл: Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 0
Теория электронов в некристаллической среде |
19 |
по примесям при низких температурах (гл. 6) независимо от того, происходит ли движение электронов путем термически активи рованных перескоков или нет.
б) Ситуации, когда подвижность электронов с энергиями вбли зи уровня Ферми EF равна нулю или пренебрежимо мала или когда N {Е) равна нулю. В этом случае ток переносится возбуж денными электронами так же, как в собственном полупроводнике.
В этой главе обсуждаются примеры обоих типов проводимости, но пока мы ограничимся случаем «а». Может существовать область энергий, в которой величина N (Е) конечна, но состояния лока лизованы и подвижность электрона с такой энергией равна нулю
при Г = |
0. При этих энергиях проводимость <зЕ (0) |
обращается |
|
в нуль, |
что |
может служить критерием локализации |
электронов |
с энергией Е. |
Возможны и другие критерии локализации. Соглас |
||
но одному из них, все собственные функции одноэлектронного уравнения Шредингера экспоненциально затухают в пространстве вне области, в которой собственная функция локализована, как это показано на фиг. 2.3. Точнее, любые собственные функции, которые не затухают указанным образом, встречаются настолько редко, что вносят в аЕ (0) вклад, стремящийся, к нулю, когда число атомов стремится к бесконечности. Иными словами, можно сказать, следуя Андерсону [18], что состояния локализованы, если электрон с энергией Е ± dE, помещенный в объем..?, доста точно большой, чтобы удовлетворить принципу неопределенности, не диффундирует из области локализации. Мы считаем оба опре деления эквивалентными.
В случае «б» (собственный полупроводник) представление о локализации также важно; мы увидим, что для нелокализован-
ных |
состояний величину а Е (0) можно считать равной |
eN(E)kT\.i, |
где |
|х — подвижность носителей с энергией Е, если |
пренебречь |
взаимодействием с фононами. В случае локализованных состоя ний ц обращается в нуль при Т — 0. При конечных температурах подвижность в основном-обусловлена взаимодействием с фононами и на несколько порядков меньше, чем для нелокализованных (распространенных) состояний.
В этих утверждениях следует подчеркнуть один пункт, кото рый подробно рассмотрен ниже в этой главе. Дело в том, что для любой модели некристаллической системы, например жидкости, возможно множество конфигураций; совокупность всех таких конфигураций назовем ансамблем. Любую величину, получаемую из квантовой механики, которзао нужно сравнивать с опытом, следует усреднить по всем конфигурациям ансамбля. Результаты такого усреднения аЕ (0) запишем как (аЕ (0)). Мы говорим, что состояния с энергией Е локализованы, если
(аЕ (0)) = 0.
2*
20 |
Глава 2 |
Это не означает, что величина а равна нулю для всех конфигура ций ансамбля; например, одна из возможных конфигураций жидкости — идеальный кристалл, и в нем нет состояний, локали зованных в том смысле, как описано выше, но мы утверждаем, что для совокупности N атомов может существовать область энергий электрона такая, что доля конфигураций, для которых величина а не равна нулю, стремится к нулю при iV->- оо. Другими словами, математическое ожидание а стремится к нулю. Итак, определю! локализацию следующим образом: для ферми-газа невзаимодействующих электронов с энергией Ферми Е выпол няется соотношение
l i m <<тя(0)) = 0.
2.3. ФОРМУЛА КУБО — ГРННВУДА
Выведем теперь формулы для величин сг (со) и а (0). Пред положим, что собственные функции электрона с энергией Е в непе риодическом поле суть -фЕ (х, у, z) и нормализованы па один электрон в объеме Q. Предположим далее, что иа электрон дей ствует переменное поле F cos at, так что потенциальная энергия равна ex-F cos at. Тогда вероятность того, что электрон в единицу времени перейдет из состояния с энергией Е в любое из состояний с энергией Е + Йсо, равна
|
|
±-e*F*(?g-)\xE+ha,E |
|
|
IcpQtf (Е 4-7но)- |
(2-4) |
||||||
Матричный |
элемент |
хЕ-Е |
имеет |
вид |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ХЕ'Е= |
J tyE'X\\>Ed?X, |
|
|
|
|||
а |
индекс «ср» в |
(2.4) |
означает |
усреднение |
по всем |
состояниям |
||||||
с |
энергией |
вблизи |
Е' |
= |
Е |
+ |
%а>. Удобно |
записать х ) |
|
|||
где |
|
|
|
^E+ftco, Е = |
^ |
DE+ha>, |
Ei |
|
(2.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
DE',e= |
|
J |
|
-^bPE)d3x. |
|
|||
Таким образом, |
(2.4) |
принимает вид |
|
|
|
|||||||
|
|
|
(^)F*\D\2cpN(E |
|
+ |
Tm). |
(2.6) |
|||||
х ) Формула (2..5) справедлива лишь в том случае, если г|з — собственные функции осциллятора с собственной частотой со. В действительности же функ ции гр совсем иные. Поэтому приведенный здесь вывод выражения (2.6) вызы вает возражения. Корректный вывод формулы для проводимости можно найти в работах Кубо и др. [642] или Гртшвуда [205].— Прим. перев.
Теория |
электронов в |
некристаллической |
среде |
21 |
|
Введем теперь |
проводимость на частоте |
со, |
обозначаемую |
||
о (со) и определенную так, что |
величина а (со) 1 |
/ 2 |
i r 2 |
равна средней |
|
скорости потери энергии в единице объема. Чтобы найти а (со),
нужно |
умножить |
выражение |
(2.6) |
на |
N (Е) f (Е) dE — число |
||||
занятых |
состояний |
в единице |
объема |
в |
интервале энергий |
dE, |
|||
иа 1 — / |
(Е + |
frco) |
— вероятность того, |
что |
состояние с энер |
||||
гией Е + |
ha |
свободно, на |
Тгсо — энергию, |
поглощенную |
при |
||||
каждом |
квантовом |
переходе, и на 2 для учета двух направлений |
|||||||
спина. Интегрируя по всем энергиям, находим |
|
|
|
°H=2j^\{f(E)[l-f(E |
+ n«>)]- |
|
|
-/ (Е + ftco) [1 - / |
(£)]} | D |2рN (Е) N{E± |
Йсо) dE. |
(2.7) |
Второй член в фигурных скобках содержит энергию, испускаемую при переходах вниз. Усредним теперь | D |2 по всем начальным и конечным состояниям. Выражение в фигурных скобках сводит ся к
|
|
|
f(E)-f(E |
|
|
+ |
Па), |
|
|
|
|
|
|
так что |
выражение |
(2.7) |
принимает |
вид |
|
|
|
|
|
||||
а (а) - 2 я е |
Щ З а |
[ У |
( |
£ + |
to)] |
| D \lgN (Е) N (Е+Гга>) d £ |
|
„ |
g . |
||||
* |
' |
|
J |
|
|
|
|
ftco |
|
• |
\ • / |
|
|
При |
T — 0 |
формула (2.8) |
упрощается: |
|
|
|
|
|
|||||
|
g |
/ м ) ^ |
2яе%3д |
г | р |gpjy{ Е ) N { Е + Па)d |
E |
|
„ |
g ) |
|
||||
Нижний предел интегрирования EF |
— Йсо — наименьшая энергия |
||||||||||||
электрона, способного поглотить квант; верхний предел равен |
EF. |
||||||||||||
Чтобы получить проводимость на постоянном токе, возьмем |
|||||||||||||
предел о (со) при со —>- 0. При Т = |
0 он зависит только от подынте |
||||||||||||
грального выражения при Е |
= |
EF. |
Определим |
аЕ |
(0) как |
|
|
||||||
|
|
<*в (0) |
|
IDE |
|?р [N (Я)],2 |
|
|
(2.Ю) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%.-jLl?Ed*x |
|
|
(E = E ' ) . |
|
|
|
|
|||
Индекс «ср» означает усреднение по всем состояниям Е и по |
|||||||||||||
всем состояниям Е' |
= Е. |
При Т |
= |
0 проводимость |
о (0) |
равна |
|||||||
|
|
|
<*(0) = |
[<М 0 ) ] е - е , . |
|
|
|
|
|
||||
При конечной |
температуре |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
а(0) = |
- |
} с т Е ( 0 ) ^ £ . |
|
|
(2.11) |
|||||
Назовем это выражение формулой Кубо — Гринвуда.
22 |
Глава 2 |
Теперь необходимо показать, что если рассеяние мало и сред няя длина свободного пробега L велика, полученные формулы при водят к выражению, выведенному с помощью кинетического уравнения, а именно
пе2х |
Spe^L |
(2.12) |
|
|
где S& — 4л/ър — площадь поверхности Ферми. Метод доказа тельства предложен Моттом [371]. Предположим, что применима модель свободных электронов и что существует такая длина сво бодного пробега, что kFL Э- 1- Если определить объем v, равный объему сферы радиусом L , так, что
то фазы волновых функций в этих объемах не будут коррелированы. Таким образом, если определить б как
6 = |
(2.13) |
то величина D будет равна сумме Qlv вкладов, равных б, но со случайными знаками. Поэтому можно записатьх )
|
Для оценки величины |
б запишем |
|
|
|||
|
|
8 = |
к |
| e x p [ t ( k ^ - k ) T ] d 4 |
|
||
и, |
полагая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|k — k ' | = 2 A s i n - y e « A e , |
|
||||
где |
9 — угол рассеяния, |
приближенно |
получим б = kvlQ,, если |
||||
kLQ |
<С 1, в |
противном |
случае |
6 = 0 . |
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
1 / h L |
|
|
|
|
|
|
' кЧ* \ Г 2я0 ,п |
лЬ |
||
|
|
|
|
|
|
|
3Q |
Подставляя |
(2.1) для |
N |
(Е), |
находим_ |
|
|
|
1 ) Последнее выражение справедливо только при Й > у. При достаточно большом L и большой концентрации п электронов (в металлах или сильно ле гированных полупроводниках) это условие ие выполняется. Например, при L = 1 0 _ 0 см и п = 2,5 - 10 1 7 с м - 3 £2 да v,— Прим. перев.