Файл: Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 121

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2S

Глава 2

 

 

Функция

начального состояния

имеет вид

 

и коэффициенты ат экспоненциально убывают

с расстоянием

между ямами т и п.

 

 

Другое и, возможно, более ясное истолкование условия Андер­

сона состоит

в следующем. Возьмем

электрон,

локализованный

в начальном состоянии в большом объеме радиусом Да: с энергией,

 

 

 

 

 

заданной

настолько

точно,

 

 

 

 

 

насколько

 

это

 

позволяет

 

 

 

 

 

принцип

неопределенности.

 

 

 

 

 

Тогда если Е лежит в центре

 

 

 

 

 

зоны,

то

при

выполнении

 

 

 

 

 

условия U0/J

> 5

диффузия

 

 

 

 

 

отсутствует, а в случае не­

 

 

 

 

 

выполнения

амплитуда

вол­

 

 

 

 

 

новой

функции

 

электрона

 

 

 

 

 

будет

стремиться

к

нулю

 

 

 

 

 

с

возрастанием

времени

t.

 

 

 

 

 

 

Критическое

 

значение

 

 

 

 

 

UQIJ

слабо зависит

от коор­

 

 

 

 

 

динационного

числа

z.

На

 

 

 

 

 

фиг.

2.5

изображен

график

 

 

 

 

 

Андерсона

для

U0/2I.

 

При

 

 

 

 

 

z = 6 величина

U J J

прибли­

Ф и г .

2.5.

Критическая

величина

зительно

равна

пяти;

опыт­

ные данные,

которые

будут

UQ/21,

взятая из работы Андерсона [18].

приведены ниже,

показыва­

В этой работе величина К связана с к о о р д и ­

национным числом z, а именно

К = 4,5 для

ют,

что

для

хаотического

простой кубической решетки . В данной книге

распределения

центров

это

мы полагаем

К пропорциональным z. Е с л и

и с п о л ь з у е т с я

величина К

по Д о м б у [132], то

значение

находится

в

удо­

критическая величина VJ21

должна быть р а в ­

на 4,0

д л я решетки алмаза, 5,5

— для п р о ­

влетворительном

 

согласии

стой к у б и ч е с к о й решетки, 6,4 — для объемно -

с

экспериментом.

 

 

 

центрированной кубической решетки и 7,5 .—

 

 

 

д л я гранецентрированной кубической решетки.

В некоторых более поздних

 

 

работах [365, 371], посвящен­

ных локализации Андерсона, внимание сосредоточено на величине а (0). В отсутствие диффузии проводимость а также должна обра­ щаться в нуль для всех энергий в зоне. Можно исследовать сгЕ

для любой энергии Е в

зоне и поставить вопрос, обращается ли

оЕ в нуль или нет. Чтобы получить результат, имеющий

физиче­

ский смысл, нужно вычислить среднее значение

а Б

по всем кон­

фигурациям ансамбля,

т. е. при всех значениях

Ui

для

каждой

ямы i, таких, что (U2)

= Щ. Это среднее обозначено

( о Е ( 0 ) ) .

Очевидно, при некоторых конфигурациях, а именно тех, в кото­ рых все или большая часть значений U малы, величина 0 не обращается в нуль.

Теория электронов

в некристаллической

среде

29

Возникает вопрос, дают

ли такие состояния

конечный

вклад

в случае бесконечного числа ям или они дают вклад, стремя­ щийся экспоненциально к нулю для больших N. Этот вопрос был подробно исследован Моттом [371]. Использованный метод вклю­ чал оценку проводимости при частоте со, а (со), и было показано,

что

при всех конфигурациях,

кроме той части, которая дает

исчезающий вклад при N^-oo,

 

величина (а (со))

ведет себя,

как

со2 при малых со, и поэтому

(а (0)) обращается

в нуль.

Вкачестве предварительной оценки рассмотрим две доста­

точно удаленные друг от друга ямы а и Ъ, для которых величины

Uа и Ub

почти равны. Волновая функция будет иметь вид,

пока­

занный

на фиг. 2.4, а, пока для любой ямы с, лежащей

между

а и Ъ, выполняется неравенство

| Uc —

Ua

| <^ | Ub — Ua\.

Оце­

ним вклад, который вносят в

(о (со))

ямы

а и Ъ. Если нижнее

состояние занято, а верхнее свободно и если оба состояния разли­ чаются по энергии на Йсо, то вероятность того, что в единицу вре­ мени поле F cos со£ вызовет переход из одного состояния в другое, равна [ср. с (2.4)]

\F*(2-^)\xab\*n{Eb).

Здесь п (Е) dE — средняя по ансамблю вероятность того, что

Е,

энергия электрона в яме, лежит в интервале

dE. Величина

п

(Е)

порядка i/U0-

Поэтому, если в единице объема содержится N

цен­

тров и состояния заполнены до уровня

Ер

и если ha>IUQ

«С 1»

то

проводимость (о (со))

определяется

выражением

 

 

 

 

 

 

 

(Па)2[п

(EF)]2N2

j

\x\4nR2dR,

 

 

 

 

где R — расстояние между двумя ямами, а х следует

вычислять

при

Е =

EF.

Нижний предел интеграла

определяется

условием,

что для малых значений Йсо две ямы должны быть достаточно

уда­

лены, чтобы резонансная энергия 21 (=210

ехр ( — a R ) )

не

пре­

вышала

hu>. Минимальное расстояние,

обозначаемое

Ra,

таким

образом,

равно

 

 

 

^

 

 

 

 

При таких расстояниях, когда отношение В/А [выражение (2.22)]

не мало, величина хаЪ имеет порядок R,

хотя для больших расстоя­

ний, когда В/A «*2i7| Ua — Ub |, хаЬ

убывает экспоненциально

с расстоянием. Следовательно, заметный вклад в интеграл обу­

словлен объемом между сферами радиусом Д ш и Ra

+ o r 1 . Поэто­

му находим, что

 

(а (со)) « ( I ^ L ) ( u c o ) 2 № ^ £ .

( 2.24)

30

\

Глава 2

Поскольку Nn = N (Е) — плотности состояний, последнее выра­ жение можно записать как

<а(со)>« ( ^ ) [N(EF)]*a-s

(йсо)2 [ i n ( А ) ] 4 .

( 2 . 2 5 )

Этот вид формула Кубо — Гринвуда (2.11) принимает в случае локализованных состояний. Величина (о (со)) стремится к нулю вместе с со. Все матричные элементы D в (2.9) стремятся к нулю, как это можно видеть из (2.5), поскольку х стремится к конечному значению г ) .

Чтобы сделать приведенное доказательство строгим, нужно исследовать влияние на две рассмотренные ямы всех остальных ям. Следует показать, что число конфигураций ансамбля, для которых две волновые функции не локализованы в смысле фиг. 2.3,

соответствует доле

общего числа, стремящейся к нулю, npniV

оо.

Этот вопрос был

исследован Моттом [371]. Присутствие

всех

остальных ям, конечно, всегда влияет на скорость

убывания

волновых

функций в пространстве, так что а в выражении

(2.17)

не будет

равно значению для изолированной ямы. В

частности,

а должно стремиться к нулю при стремлении

U J J к критическому

значению Андерсона, при котором начинается диффузия.

Формулу (2.25)

удобно записать, полагая

N (EF) = N/U0r

< « М > - ( ^ И £ ) * - - * | >

 

 

Пока величина кТ

не станет сравнимой с

U0,

проводимость а

не должна изменяться с температурой. Танака и Фэи [491] первыми получили «закон со2» на модели этого рода — они рассматривали

случай,

когда

кТ >• U0. При этом

нашу формулу следует умно­

жить на UJkT.

Дальнейшее упоминание об этой формуле имеется

в 2.11 и в гл. 6.

 

 

 

Из

приведенных рассуждений

следует

важный вывод,

что

<ст (0)) обращается в нуль, если отношение

U J J достаточно

вели­

ко. Конечно, о (0) обращается в нуль не при всех конфигурациях ансамбля, а только для доли, которая стремится к 100% при N ->• оо. Допуская, что результаты, полученные на модели Андер­ сона, применимы к реальным телам, можно ожидать, что в тонкой пленке возникнут «проводящие каналы», обусловленные статисти­ ческими флуктуациями, и сопротивление будет зависеть от тол­ щины пленки, как показано на фиг. 2.6.

*) Это не очень убедительно; более того, ссылка на выражение (2.5) вооб­ ще не имеет смысла [см. примечание переводчика к формуле (2 . 5)] . — Примперев.

Теория электронов в некристаллической среде

31

В литературе велась обширная дискуссия относительно при­ годности подхода Андерсона (см. [371, 19]). Были приведены другие, совсем отличные соображения [153, 100, 386]. Авторы

lnp

I/T

Ф п г. 2.6. Зависимость удельного сопротивления р от 1/Т для толстой (iy и тонкой (2) пленок (схематично).

указанных работ вычислили подвижность в системе беспорядочно' расположенных «жестких» рассеивателей и получили резкое паде­ ние подвижности при критической плотности.

2.5. С Л У Ч А И , КОГДА СОСТОЯНИЯ ЛОКАЛИЗОВАНЫ

ВОДНОЙ ОБЛАСТИ ЭНЕРГИЙ И НЕ ЛОКАЛИЗОВАНЫ

ВДРУГОЙ

Такое положение может иметь место в случае электрона в поле потенциальной энергии, изображенной на фиг. 2.2, б, если крите­ рий Андерсона не выполнен, а также во многих других случаях,

N(E)

Ф и г . 2.7.

Плотность состояний в модели

Андерсбна^, когда состояния

 

в центре зоны не локализованы.

\

Локализованные

состояния заштрихованы. Величины

E Q П E Q

отделяют области энер­

 

гии, где состояния локализованы и не локализованы.

обсуждаемых ниже. Величина (стЕ (0)) будет тогда конечна для значений энергии Е в середине зоны, но может обращаться в нуль у ее краев, если там плотность состояний падает (см. [365, 371]). В этом случае критическая энергия Ес должна разделять две обла­ сти, а именно:

Г = 0

(Е<ЕС),

<°*«>»{ф0

{ Е > Е С ) .

<2-27>

32

Глава 2

На фиг. 2.7 это показано для плотности состояний, получающейся при потенциале Андерсона. Другие примеры будут приведены ниже.

Мы можем лишь умозрительно рассуждать о поведении вели­ чины (а) п волновых функций в окрестности энергии Ес. Мотт 1368—371] предположил, что при значениях Е, чуть меньших

 

Ес,

 

волновая

функция

 

имеет

вид,

показанный на

 

фиг. 2.3, в; волновая функ­

 

ция на какой-либо яме

«ГЕ(0)>

будет

иметь

случайный

знак

и случайную ампли­

1<а{ш)>

1

туду,

 

но

ее

огибающая,

/

показанная

 

пунктиром,

экспоненциально

убывает

 

как

е'а'г,

а

а' —>- О

прп

Ее

Е ->- Ес. При

таких

вол­

а

новых

функциях

каждая

W

локализованная

орбиталь

 

перекрывается со

многими

 

другими. Если состояния

 

локализованы,

 

электрон

 

может

двигаться,

только

 

перескакивая

из

одного

 

состояния в другое и обме­

 

ниваясь при этом

энергией

 

с фононами.

Процессами,

 

 

 

 

 

 

определяющими

скорость

Ф и г . 2.8.

а —

проводимость ; аЕ (0) )

движения, будут, конечно,

в зависимости от

Е при

Т = 0 в

модели

те, в которых

электрон по­

 

Андерсона.

 

 

 

 

 

лучает энергию отфононов.

П у н к т и р н ой линией

показана

функция

<а (<о)>

ТТЛ FT М Я TTF.TV

Г,\ ТТТТТТ /П ? П \ \

ттгтег Mmrtrv Т

за-

 

повсеместно

^-эТершГ'актимцип терюкокюИ^в

В э т о й к н и г е

 

висимостн от Е.

 

 

будет использоваться сооб­

 

 

 

 

 

 

ражение, что

если

состоя­

ния далеки друг от друга, то перекрытие орбиталей мало и вероят­ ность перескоков также мала; с другой стороны, чем дальше элек­ трон может туннелировать, тем из большего числа состояний он может сделать выбор и тем больше вероятность найти состоя­ ние с приблизительно той же энергией. Предположим поэтому, что, когда Е стремится к Ес снизу, энергия активации переско­ ка W стремится к нулю как величина, кратная С/0 а'3 . -Энергия W схематически показана на фиг. 2.8, б. Мы вернемся к этому вопро­ с у в 2.9.

При значениях Е, несколько больших Ес, волновые функции, как мы полагаем, должны иметь вид, показанный на фиг. 2.3, б; знак волновой функции на каждой яме также случаен, но волио-

Смотрите также файлы