Файл: Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах.pdf

•

что совпадает с (2.12) с точностью до множителя 2. Нельзя надеять­ с я получить правильный числовой множитель таким грубым методом.

Средняя длина свободного пробега зависит от механизма рас­ сеяния; методы ее вычисления обсуждаются в следующей главе.

Эдварде [150], исходя из предположения о слабо рассеиваю­ щих потенциалах, также вывел формулу Больцмана на основе формализма Кубо — Гринвуда. Он непосредственно доказал, что •формула (1.2) с величиной / (0), определяемой в борновском приближении, следует из формулы (2.10).

Распространение этого метода на проводимость при частоте о дает формулу Друде

(2.14)

Таким образом, оказывается, что проводимость обусловлена опти­ ческими переходами с нарушением правила отбора по к; это возможно вследствие конечной длины свободного пробега и выте­ кающей отсюда неопределенности к. Мы не будем выводить эту •формулу, но отметим, что если k t и к2 — волновые векторы до и после рассеяния, то приведенный выше метод пригоден только

где и — скорость у поверхности Ферми, так что вывод перестает

2.4. ОТСУТСТВИЕ ПРОВОДИМОСТИ В СЛУЧАЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ СОСТОЯНИЙ; ЗАКОН ю 2

В предыдущем разделе мы воспользовались формулой (2.1) Кубо — Гринвуда для вычисления проводимости в характерном для металла случае, когда плотность состояний конечна при энергии Ферми и kL ^> 1. Рассмотрим теперь противоположный случай, когда потенциальная энергия V (х, у, z) уже не является малым возмущением в уравнении Шредингера

у2 Ф + ж ( £ - т = о .

Предельный случай — приближение сильной связи, при котором кристаллическая решетка потенциальных ям создает узкую поло­ с у уровней, как показано на фиг. 2.2, а. Это имеет место в случае d-зоны переходного металла или доноров, создающих металличе­ скую примесную зону в полупроводнике (гл. 6). Пусть ямы

\

24 гГлат 2

настолько удалены друг от друга, что перекрытие атомных волно­

Предположим, что функции ф сферически симметричны («-функ­ ции). Тогда, если W0 — энергетический уровень электрона в изо­ лированной яме, то энергия электрона в простой кубической

1С "

-

N(E)

в нашей книге много раз. Его точное выражение зависит от формы

Полученные для двух ям результаты позволяют предположить, что в случае бесконечной системы будут возникать хаотические флуктуации амплитуды (и фазы) функции при переходе от ямы к яме и что по мере возрастания величины U J J эти флуктуации усиливаются (фиг. 2.3, в). Несомненно, это имеет место. Однако если значение U 0 / J очень велико, интуитивно ясно, что волновая функция изолированной ямы будет слабо возмуще­ на всеми другими ямами и, следовательно, будет спа­ дать экспоненциально с расстоянием (фиг. 2.3, в

иг). Возникает существен­ ный вопрос: происходит ли это в действительности,

иесли да, то при каком значении С/0 //? Кроме того, если отношение U 0 / J до­ статочно велико, то проис­ ходит ли это со всеми волно­ выми функциями системы или только с некоторыми?

электрон помещен в одну из ям. Что произойдет при £ - > -оо? Имеется ли конечная вероятность того, что электрон диффунди­ рует на большое расстояние при абсолютном нуле температуры, или вероятность найти электрон на большом расстоянии г убывает как ехр (—2аг) и в таком случае диффузии нет? Андерсон нашел, что диффузии нет, если U 0 / J больше некой константы, которая зависит от координационного числа z и которая при z = 6 при­ близительно равна пяти (см. подпись к фиг. 2.5). Это означает, что если UQIJ > 5 , то волновые функции всех электронов системы будут типа показанных на фиг. 2.3, в, т. е. экспоненциально убывающими с расстоянием г от ямы

х ) Это справедливо только в приближении ближайших соседей, т, е. если пренебречь интегралами перекрытия между более далекими ямами.— Прим. перев.