Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Скачать файл (16,79Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 142

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

С о о тн о ш е н и я д л я эн тр о п и и :

S — S0= — k In Р + k 1п (PVTi)+ J

			V
S — S0~	~k[\n P	- P	- . i l 4 . - B L
u	" 1	v	ap 1 2K2

Теплоемкость при постоянном объеме:

ОО

		1
		(III. 17)
		1
c	p	ac
2V2	2V2	ap + - •)'
		(III. 18)

Су -

С° =

— рз J

{d2P/d^)v dV;

(III. 19)

С„

с<0)= - &

з _

дВ

Р2

дгВ

_р_

_дС

ар

ар2

V1 '

ар■+

Р2

д2С

(111.20)

+ 2V2

ар2

Теплоемкость при постоянном давлении:

Ср - С ° р -.

(дР/дР)2

аз

ааР

■Р* (ар/ак)р

(

ар2J v dV’

(111.21)

ср — с°р= —к

а*в

i f

\ 2

ар2

T i ( fl+pi r ) -

- с - р-

ас

Р2

а2с

(111.22)

ар

2 '

ар2

Коэффициент Джоуля — Томсона:

~ = _J_ [р(аwap)p + V] =

(- Рif — в +у

[2№+ 2ВР'ардВ

— 2 С - Р

Скорость звука

ас	Р2 д3В	(111.23)
ар	СР2 W 2 \ г 5Р	(111.23)
ар	СР2 W 2 \ г 5Р
у2 / ар
м	u L т"сл ;	(111.24)
		(111.24)

с2 = Y op-iM -i			а в )	} +
с2 = Y op-iM -i			2 B - 2 ( V » - 1 ) P —	} +
	(Yo - i ) 2		а2в	(111.25)
* "	- .Л	г	ZQ O	(111.25)
	V0

где М — молекулярный вес. 472

ПРИЛОЖЕНИЕ IV

ВЫЧИСЛЕНИЕ Yk, I В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ ВЫДЕЛЕННОГО ИОНА

Рассмотрим систему, состоящую из электронов, ионов и излучающего иена А с зарядом Zi, находящуюся в единичном объеме при температуре Р-1. Вероятность того, что под действием возмущения, обусловленного вну-

триплазменным микрополем,			плазма перейдет		из	состояния		п в состояние т ,
а атом	из состояния к в / ,		дается	формулой	(11.15),		а матричный		элемент
перехода имеет вид
<	. . . > = е2 J	fdn/RV* (г) у ; (г) ~			[фе* (R, /) ф, (R, 0 ]m				п. (IV.1)
где 'Fit,	'F; — волновые	функции		излучающего		атома;	фе,	фе — операторы

поглощения и рождения электронов во вторичном квантовании в представ

лении	Гейзенберга.	Соответствующие					операторы	в	р-представлении		ар и
а + являются теперь коэффициентами						в разложении гре (R, /) не по плоским
волнам,	а по кулоновским		функциям			непрерывного		спектра		ф \|\|" ^ ):
			? e (R)== V a p^+ (R ).								(IV.2)
					Р
Величину		можно	выразить			через двухчастичную				функцию	Грина
	G‘2 (Ri , t\\ R2, ^2) =				* Sp ехР [р Н“				— Н)]	X
	X г {Ф+ (Ri,		h) ф+ (R,, h) ф, (Rx, /х) фг (R,, / , ) } .								(IV.3)
г д е
			л ------	--------		*
	Ь (R. t) = exp ( -		i Ht) 5 ] “p V				(R) exp (i Ht),		t =	t1 — t2.
				P
Действительно,		запишем
	wki I (со) = 2яе4 j J dr,dr2dRx dR2								(r2R2/Rl) X
	X [ < (гг) V, (гх)]			[Фк (га) У* (га)] Ф (R,, R ,, и ),							(IV.4)
где
Ф (Ri> R3. ®) =		I	(R1-	0 ^ ( R i . 0 ] ra, n [ ? ;				(R a ,/)^ (R a .0 ]m.n \|X
	Г П ,	n
	X exp (P (й +			цМп — £n)l 6 (Em — En — co);							(IV.5)
				ы s	вl		6k.

473

Соотношение между G2 и Ф имеет вид

	СО
— i	\|	с/соФ (Ri,	R-,, со)	exp (i wt) при	t >	0;
G2(R1, R 2 >0 =							(IV.6)
— i	f	йшФ (R!,	R2, co) exp (— (5<o — i Ш)			при	/ < 0 .
	----OO
Коэффициент Фурье функции G2
			OO
G2(R1, R2i co) =			f dt exp (i(o/) G2 (Rt ,		R2, 0
			----OO
выражается через Ф. Однако удобнее				ввести запаздывающую			функцию кор
реляции G2(Ri, R2i	to),	аналитическую		,в верхней полуплоскости перемен
ной <в:

СО

G2(Ri , R 2, w) =	f Ао'Ф (Rt . R2, to') 1 ~ 6XP (~ ^ -.
	J		0) — co — 10
Тогда
rt, /D	D	,	Im G^ (Rl , R2, to)
0 (R !,	Ro,	ш ) _ я [ , _ ехр( _ pM)] •

(IV.7)

(IV.8)

Для вычисления G2 рассмотрим температурную двухчастичную функцию Грина

G,(Rlf т,; R2. x2) = Spexp[P(Q + p/V — tfj] X

X 7 ’ {ijj(R1, Ti) ф (Ri, tj) ф (R2, т2) ф (R2, t2)},

где

? (R, t) = exp [— (pN - H) t] 2 ] а р ф+ (R) exp [((xiv — H) r] p

с коэ(1)фициеитом Фурье

On (Ri. R2, ®n) = I G2 (Rl R2i t) exp (2ni пт/(3) dr.

Используя соотношения для G2, аналогичные (IV.6), получаем

On (Rii R2> Шп) — G2 ^Ri, R2,

~ ^ .

Следовательно, функция G2(Rt, R2, ы) является аналитическим продол жением с дискретных точек шп температурной функции G2 в верхней полу

плоскости переменной (о. Для вычисления G2 используем графическую тех нику. Простейший график имеет вид петли

Обозначим его n (R t, R2, т). Учет этого графика соответствует приближению парных столкновений. Для учета корреляции плазменных частиц следует вво дить бесконечную цепочку из электронных петель П. Функция G2 (Ri, R2, т), описывающая цепочку, связана с П интегральным уравнением

474

G% (R x ,

R 2 ,

т ) = П

(Rx (

R 2 ,

t ) -}-

+ j n ( R 1, R3;

т — %') U (R3 — R4) G-i (R4, R2,

T')rft'dR3dR4,

(IV.9)

где U — кулоновский потенциал.

Разлагая G« (Ri,

R2, т)

в ряд Фурье по т, получаем

Gn (Ri,

R2>a)n) = n n (Rx,

R2,

con)-f-

+ Jn i,(R 1)

R3,

o>n) U (R3 — R4) Gn (R4, R

n'!:IR3rfR4,

Пп (Rx, Rss, con) =

G0 (Rx, R2, con) Ge (R2, Rlt com — con);

¥>

Go ( R i i

R 2 ,

coTO)

Г ФФ+ (Ri) Фt

№)

2m 1

ep — pi + icom

Следовательно,

П ( R j , R 2 , 01) =

dpxdp:

( " p , -

"p.) К

( R l) <

( R^) <

(Ri>

Ш+ i6

(epj

e pj)

(IV. 10)

где [1]

i)5+ (R) = N (p) exp [i (pR)] • L

iz [i (pR) — (pR)];

Lk (x) = F (— k,

1, x),

F (a, p, x) — вырожденная гипергеометрическая функция;

N (p) :

2 —1.

2я

p [ l — exp (— 2я/р)]

A -

■ ь

При учете одной петли, согласно формулам

(IV.4),

(IV.8)

(IV. 10).

получаем

wKi М= Т - exp” -

ftco) f dr^

Ci)

Ci)]

X [ v k (г2) r t (г,)]

(Лрж-

nPi) (IxPi) (I.r.) e [СО -

(epi - epf)]f

где

Re2

J <,<«>-£Г <(«)<«•

Согласно известной теореме Эренфеста,

2хе2R

« w<R) = — т (R) со2,

где

с о = (p\ — pl)l2m .

Следовательно,

М = J ф+ (R) R4+ (R) dR.

475

Оказывается, что при вычислении М можно воспользоваться результа

том Зоммерфельда для М= [ (ф+*) (R)Ri|>+ (R) dR [1]. При вычислении матричных элементов, определяющих дипольное возбуждение, используется

разложение	кулоновских	функций г\|з^~	и г\|) ~ на	парциальные		волны.	При
замене ф ~	на ф^~ меняется знак кулоновских фазовых				сдвигов.	Однако при
интегрировании квадрата		матричного	элемента	\| < фр	\| ... \| (ф	) *>\|	по

углам рассеяния фазовые сдвиги .выпадают вследствие свойств коэффициен тов Клебша— Гордана, т. е. сечение не изменяется.

Тогда после интегрирования по углам получим выражение

					4Z] I М
		иК1 (<*>) = —				7, к \|		X
		иК1 (<*>) = —			al I * - ехр (— (Зсо)] т 2			X
					al I * - ехр (— (Зсо)] т 2
X	Pidpipjdpz (npt — wpg) exp (— 2nZ1/pla0) б [со — (epi -- epj)]										X
X									2nZx		X
	(Pi — Pi)2		■exp						2nZx
	(Pi — Pi)2		■exp						РФо
				V( - —РФо /УЯ Н ' - ' Я\					РФо
				X	\F (x0) \|2,						(IV .11)
где				X	dx„
где		4piP«
	Хс\	4piP«			-\|F(x„) 12 = FF* +			F*F';
	Хс\	(Pi — Pa)2’			-\|F(x„) 12 = FF* +			F*F';
		(Pi — Pa)2’			dx0
Mi,к — матричный		элемент	дипольного момента				излучающего иона;				F (х0) =
/	iZx	\ZX	1, хо	\
= F ( — -------, -------- ,			1, хо	)— гипергеометрическая функция.
\	РФо	РФо		/				(IV.11), т. е. будем
Перейдем к квазиклассическому пределу в формуле								(IV.11), т. е. будем
считать, что р\,Фа<.\. Это соответствует						обычному квазяклассическому кри
терию для кулоновского .взаимодействия
					e2lhv »	1.					(IV. 12)
1. Рассмотрим случай больших передач энергии при столкновении элек
тронов с излучающим ионом, т. е.					будем считать,		что
					Шк ./ » Р - 1 -		.				(IV. 13)
Этот случай соответствует ударному приближению и, аналогично										описанному
в пятой главе, не требует			учета		цепочки	из электронных			петель		П. Тогда
после интегрирования по рi в выражении						(IV.11) аргумент			гнпергеометриче-
ской функции
		хп =		4р2 ( р\| + 2тш ),/2
		хп =	-------:---------------------- г* С 1
			[(р^ + 2тсо‘/2) —р2]2
согласно неравенству (IV.13). При этом для F,							F* и их	производных можно
воспользоваться		разложением		в	ряд и	ограничиться первыми				неисчезаю