Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 144

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

тронной системы в металлах также будет получено в ближай­ шие годы.

Более трудным объектом исследования (как теоретического» так и экспериментального) является плазма с сильным взаимо­ действием. В этой области имеется пока лишь сугубо модельное описание свойств кулоновских систем. Пониманию поведения таких систем должен в значительной мере способствовать экс­ перимент. Подобные эксперименты ведутся сейчас как в нашей стране, так и за рубежом.

В книге уделено немалое место не только вычислению термо­ динамических функций кулоновских систем различными мето­ дами, но и рассмотрены вопросы термодинамической устойчи­ вости систем при различных плотностях и температурах. Однако в книге вовсе не рассматриваются многочисленные механизмы кинетической неустойчивости плазмы. Эти исследования пред­ ставляют в настоящее время целую область науки, изучающей использование высокотемпературной плазмы для получения термоядерной энергии. Рассмотрение различного вида неустой­ чивостей при различных значениях термодинамических пара­ метров не являлось задачей данной монографии. Поэтому здесь не анализировались важные работы М. А. Леонтовича, Б. Б. Ка­ домцева, Р. 3. Сагдеева, Г. И. Будкера, А. А. Ведепова, В. Д. Шафранова и др. в этой области.

Весьма малое место в книге занимают вопросы излучения плазмы. Сейчас эти вопросы также выделились в отдельную область исследования. За неимением места не упомянуто боль­ шое число важных работ по теории излучения плазмы. В книге не рассмотрены и такие важные вопросы, как явление сверх­ проводимости, физика полупроводников, где поведение электро­ нов определяется рядом интересных особенностей, открытых в последние годы (Бардин, Купер, Шриффер, Боголюбов, Джозефсон).

Настоящая монография совершенно не затрагивает широкой области неравновесной статистики систем многих кулоновских частиц. Эта интереснейшая область является существенно бо­ лее сложной по сравнению со статистикой равновесных систем. Неравновесная термодинамика содержит огромное количество нерешенных принципиальных проблем. В этой области известны фундаментальные исследования Н. Н. Боголюбова, И. Пригожип.а, Р. Балеску, работы Института им. Пуанкаре, а также работы В. П. Силина, 10. Л. Климонтовича и А. А. Рухадзе. Однако теория кинетических уравнений, описывающих системы кулоновских частиц, особенно плотных, существенно не закон­ чена и в ряде случаев противоречива.

Полностью отсутствует в книге релятивистская статистиче­ ская физика, которая разработана очень мало. Исключением является лишь термодинамика излучения черного тела. Вопросы релятивистской термодинамики широко дискутируются в лите­

462

ратуре в настоящее время. Автор не является специалистом в этой области, но складывается впечатление, что при скоро­ стях в системе, близких к скорости света, состояние теории

таково, что нет даже

четкого

определения температуры.

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

 

 

 

 

 

1.

Бровман Е. Г.,

Каган

К).,

Холас

А. «Ж. эксперим.

и

теор.

физ.»,

1971,

2.

т. 61, с. 737.

Каган

IO.,

Холас'А. «Ж. эксперим.

и

теор.

физ.»,

1971,,.

Бровман Е. Г.,

3.

т. 61, с. 2429.

 

 

 

 

 

 

 

 

Wigner Е., Huntington Н. J. Chem. Phys., 1935, v. 3, р. 764.

 

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ I

ТАБЛИЦА ПОТЕНЦИАЛОВ ИОНИЗАЦИИ АТОМОВ

Z

Э л е м е н т

1, эв

z

Э л е ­

I , эв J

z

Э л е м е н т

I, Эв

м е н т

1

н

13,595

32

Ge

7,88

63

Eu

5,67

2

Не

24,581

33

As

9,81

64

Gd

6,16

3

Li

5,390

34

Se

9,75

65

Tb

5,16

4

Be

9,320

35

Br

11,84

66

D y

6,82

5

В

8,296

36

Kr

13,996

67

Ho

_

6

С

11,256

37

Rb

4,176

68

Er

6,1

7

N

14,53

38

Sr

5,692

69

Tm

6,14

8

О

13,614

39

Y

6,38

70

Yb

6,2

9

F

17,418

40

Zr

6,84

71

Lu

6,15

10

Ne

21,559

41

Nb

6,88

72

Hf

~7

11

Na

5,138

42

Mo

7,10

73

Та

7,88

12

Mg

7,644

43

Tc

7,28

74

W

7,98

13

А1

5,984

44

Ru

7,364

75

Re

7,87

14

Si

8,149

45

Rh

7,46

76

Os

8,7

15

Р

10,484

46

Pd

8,33

77

Ir

~9

16

S

10,357

47

Ag

7,574

78

Pt

9,0

17

Cl

13,01

48

Cd

8,991

79

Au

9,22

18

Аг

15,755

49

In

5,785

80

Hg

10,43

19

К

4,339

50

Sn

7,342

81

Tl

6,106

20

Са

6,111

51

Sb

8,639

82

Pb

7,415

21

Sc

6,54

52

Те

9,01

83

Bi

7,287

22

Ti

6,82

53

I

10,454

84

Po

8,43

23

V

6,74

54

Xe

12,127

85

At

9,3

24

Сг

6,764

55

Cs

3,893

86

Rn

10,746

25

Mn

7,432

56

Ba

5,210

87

Fr

3,98

26

Fe

7,87

57

La

5,61

88

Ra

5,277

27

Со

7,86

58

Ce

6,9

89

Ac

6,9

28

Ni

7,633

59

Pr

5,5

90

Th

6,9

29

Си

7,724

60

Nd

5,51

91

Pa

_

30

Zn

9,391

61

Pm

_

92

U

6,1

31

Ga

6,00

62

Sm

5,6

 

 

 

464

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ

Состояние системы N фермионов можно описать, задав полный набор од­

ночастичных собственных функций

(fi(i= l, 2, ...), соответствующих

энер­

гиям

и построив из них полный

набор детерминантов N-го порядка.

Если

функция cpi содержится в детерминанте, говорят, что уровень i занят, если

отсутствует, — уровень i свободен.

Факт присутствия

или отсутствия данного

одночастнчного состояния

можно

характеризовать

ч и с л о м

з а п о л н е ­

ния и,-. Тогда состояние ЛЛчастичной системы можно описать,

задав числа

заполнения для всех одночастичных состояний:

 

 

 

|П у , П 2 ...............rtf, .

. . >

= Ф ( П у , П г , . .

. , П [ , . .

. ) .

(II. 1)

Это выражение, конечно, полностью эквивалентно антисимметризованной сумме произведений одночастичных волновых функций ср,-. Можно потребо­

вать, чтобы волновые функции (II.

1) представляли собой

ортонормирован-

кую систему функций, т. е.

 

 

 

< « 1 . п2, . ■

. , п{ , . . .

| Пу, п,, .

, «4,

> =

=

6Л|. л,, 6 "3, «2

6

 

(II.2)

Введем операторы рождения и уничтожения (поглощения) частиц, устанав­ ливающие связь между различными волновыми функциями системы. В слу­ чае фермионов эти операторы можно определить так:

-

 

 

•

 

_

2, /

Ф(. • •

, rti-l. . . .);

о/Ф(. • •, rtf. •

•) = *Ч(-1)'<‘

^ + Ф ( . .

. , rtf, .

. . ) =

- / Т = Т ,

ф ( . .

. . ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(И .З )

•

■

(— \),<l

учитывает

антисимметрию

функции

Ф. Из этих оп­

Множитель

ределении

следуют

п р а в и л а

а н т и к о м м у т а ц и и

для операторов

сц

и a j :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XN

S

/*ч / S

/ Ч ХЧ

 

.

/ S .

 

 

 

{ас,

а/> = агв/+ ауаг = 0;

[ a f ,

а+)*=0;

(II.4)

 

 

 

 

 

Ui,

af] = б{/.

 

 

 

 

 

 

 

 

Операторы числа частиц tii в состоянии i задаются произведениями операто­ ров di и d p т. е.

rtf = a f ас.

Поэтому

a f afФ ( . . . , ni, . . . ) = псФ ( . . . , rtf, . .

(II.5)

Из определения следует, что оператор числа частиц диагоналей.

16 Зак. 635

46S

Принцип Паули учитывается правилами антикоммутации (П.4). Дейст­ вительно, для i=j из этих соотношений следует, что

а+а+- (а+)2 = 0,

т. е. два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии L Пользуясь этими же соотношениями, легко проверить, что

«? = «,

и, следовательно, оператор числа частиц на уровне i имеет

собственные зна-

чения, равные 1 и 0.

Теперь для доказательства

равенства

(II.5) необходи­

мо показать, что оно

вытекает из формул (П.З)

при л,- = 0

и п ,= 1.

Непо­

средственное вычисление приводит к результату

 

 

 

aj~ а[ Ф ( . .

Щ,

0

, «£,

 

при га,- =

0;

Ф(

)

при щ — 1,

 

 

что и доказывает справедливость формулы (11.5).

Приведенные соотношения легко понять, оперируя с детерминантами

Слэтера. Действительно, матричные элементы оператора уничтожения

си

в про­

странстве многих частиц равны

±1, если выполнены -следующие

условия.

Функция q>i должна содержаться в детерминанте, представляющем

началь­

ное состояние системы и расположенном слева от оператора а,-.

Детерми­

нант, расположенный

справа

от

оператора (конечное состояние),

должен

отличаться от первого

только

тем, что ,в нем пропущены одна строка

и один

столбец, содержащие (р,-. Знак матричного элемента отрицателен, если функ­ ция (р; находится во второй, четвертой и любой другой четной строке детер­ минанта, относящегося к начальному состоянию, и положителен, если ср,- находптся в любой нечетной строке. Все остальные матричные элементы опе­

ратора а,- равны нулю. Для примера некоторые матричные элементы опера­ тора йг выглядят так:

Фх ( ГХ-a

l) , 2 °'

 

у^гГФ1 ( гх.стх) Фх (г2 |Ог)

= -

1;

 

л

 

1

Фа (Г ьс^) ф 2 (г2,ст2)

 

 

 

 

фг (Гъ<Д) фг (г2,фг)

= +

Фз(г1,ст1),а2-

у —

Фз (Г!.Ох) фз ( г2 ,0 2)

 

 

 

1

 

 

^фа (ri,CTx),a2-

Фх (r i . 0'i) Фх (г2,а 2)

= 0.

У1

Фг (П -°х ) ф2 (г2,а 2)

Оператор 1+ эрмитово

сопряжен

по отношению к щ.

Его

матричные эле­

менты отличны от нуля только в том случае, когда число частиц в конечном состоянии на единицу больше, чем в начальном.

Любую

волновую

функцию

системы

можно

получить

из

вакуумной

|0 > ;

последняя

описывает

состояние,

в котором нет никаких

частиц. Если

в качестве начального выбрать вакуумное состояние

и подействовать на него

произведением N различных операторов

рождения,

то получим

состояние,

совпадающее

с

одним

из

УУ-частичных (Л/-частичный

детерминант).

При

этом

следует

позаботиться

о

порядке

следования

 

операторов

рождения,

поскольку в силу

антисимметрии волновой

функции систе­

мы фермионов перестановка мест двух частиц влечет за

собой появление

множителя

(—1).

^

 

Рассмотрим некоторый оператор Ль представляющий собой сумму од-

почастичных операторов

 

 

^1 = 2 U (П)-

(П.6)

i

 

466 .

Примерами одночастичных операторов являются оператор кинетической энер­ гии частицы:

 

\

2т J

v?

 

 

2 т

’

 

 

а также оператор Блоха

 

 

 

 

 

 

2 от

 

 

 

 

где У (г ,)— оператор потенциальной

энергии

периодической

решетки

(0 может быть, вообще говоря, любым оператором внешнего поля).

Сравнивая матричные элементы

оператора

At, взятые по

волновым

функциям в конфигурационном

пространстве

и в

представлении

вторичного

квантования, находим, что оператор At выражается через операторы рожде­ ния и уничтожения частиц следующим образом:

л == 5] ^ (Г^ = X

 

< ' 1^ 1;> а^ а>’

(П.7)

I

<. /

 

 

где матричные элементы

 

 

 

 

<*’ I ?1

I /> =J <Р*

(г)?1 (г) ф/ (Г) dr.

(П.8)

Легко видеть, что гамильтониан системы свободных частиц в представлении вторичного квантования диагоналей и выглядит особенно просто

Я0 = S P? -- --

( П . 9 )

аего матричные элементы определяются формулой

Е=

Между гамильтонианом системы, состоящей из N частиц, и гамильтонианом ^системы, содержащей любое другое число частиц, имеется тесная связь, так как энергии обеих систем определяются одним и тем же набором одночастичных энергий. Это справедливо ,не только для оператора кинетической

энергии, но и для других одночастичных операторов, таких, как оператор импульса

 

л

..

 

/

3

д

+

д

д

 

 

Рх----- Л (

\

 

"7

+ . . • + а

 

 

 

 

 

дхх

 

дх2

oxN

 

или оператор момента количества движения

 

Lx = — ih

д

 

 

д

 

 

Уг

d

— •

 

Л1 —

- zi

,

 

+

,

 

 

—

 

Р2— - • ■ - + y N ^ r ~ ZN

4 v ) ’

 

dzt

 

dyi

 

 

дг2

 

поскольку матричные элементы этих операторов могут быть полностью опре­ делены при помощи матрицы (в общем случае недиагональной) в простран­ стве одной частицы.

Рассмотрим теперь оператор Л2, представляющий сумму двухчастичных операторов

Я>= £].£(г£, г/)-

( 11. 10)

i+i

 

16*

467

Смотрите также файлы