Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Важным примером двухчастичного оператора является оператор потенциаль­ ной энергии взаимодействия зарядов е2/|гг—г,|. Прямое вычисление пока-

i,j,к,m

где

< ij | /2 | km > = J Jcp- (П) Ф* (r,) fa (r1; r2) cpk (Г1) tpm (r2) d^dr^. (11.12)

которые рождают частицу в точке г(ф+) и уничтожают частицу в этой же точке (ф). Принимая во внимание, что функции <р< образуют полную ортонормированную систему, с помощью формул (II.5) нетрудно установить прави­ ло антикоммутации и для этих операторов

{Ф (г), ф (г')} = {ф+ (г) ф+ (г')) = 0;

(11.14)

{Ф (г) , ф+ (г')} = б ( г — г').

С помощью полевых операторов можно записать такие величины, как оператор плотности частиц © точке г:

В случае свободных частиц с массой т базисные волновые функции пред­ ставляют собой плоские волны

-1

Фр. о (р. о') = у у - exp (ipr) 6СТ

ператур вакуумом может быть состояние, являющееся температурным обоб­ щением приближения Хартри — Фока. Тогда из принципа Паули непосредст­ венно следуют формулы:

468

В заключение отметим, что аналогично только что рассмотренному аппа­ рату вторичного квантования для ферми-систем можно построить соответст­ вующий аппарат и для бозе-систем. Матричные элементы оператора уничто­

тор рождения бозе-частицы bf" является эрмитово сопряженным по отноше­

нию к hi. Оператор числа заполнения уровня i равен b^bi. Он диагоналей

в представлении, в котором базисом служат произведения одночастичных волновых функций ср;.

Операторы 6,- и bf~ удовлетворяют соотношениям коммутации:

(bt, %] s bfij— tyt = 0; [bf'bf] = 0; [%bf] = «/у. (H.21)

Подробнее о методе вторичного квантования можно посмотреть в следую­ щих книгах:

Давыдов А. С. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963.

Шифф Л. Квантовая механика. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1957. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Изд. 2-е. М., Физмат­ гиз, 1963.

ПРИЛОЖЕНИЕ III

ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

Каноническое распределение Гиббса предполагает фиксированным число частиц N в системе. При рассмотрении большого канонического ансамбля число частиц N является величиной переменной. Известно, что энергия и эн­

469

тропия системы экстенсивны, т. е. обладают свойством аддитивности. Из оп­

что является наиболее общей записью однородной функции первого порядка от N, S и V. Свободная энергия F есть функция N, р и V. Поскольку тем­ пература в состоянии термодинамического равновесия постоянна вдоль си­ стемы, а объем аддитивен, то из тех же соображений можно написать

И

Ф (А, Р, Р) = Nf (Р, Р).

Переходя от канонического ансамбля к большому каноническому ансамблю, считаем N независимой переменной. Тогда в выражения для дифференциа­ лов термодинамических функций должны быть добавлены члены, пропорцио­ нальные dN. Следовательно, для полных дифференциалов можно написать*:

откуда следует определение химического потенциала:

Поскольку

Ф = цЛГ,

то химический потенциал системы, состоящей из одинаковых частиц, имеет смысл термодинамического потенциала, отнесенного к одной частице. Если р выражено в переменных Р и р, то оно не зависит от N. Следовательно, для дифференциала химического потенциала можно написать выражение

* Здесь формально принято &=1. На самом деле нужная степень к, ко­ нечно, должна присутствовать.

470

При этом число частиц N получается дифференцированием Й по р. при не­ изменных объеме и температуре:

При малом изменении одной из термодинамических функций другие термоди­ намические функции обязаны меняться столь же мало, т. е.

(6l/)s _ V N = (6F)p_ N = (^ Ф )р , p , n — ( 6 ^ ) s , p , n = ( ^ ) p , v , p . • ( Ш - 5 )

Макроскопические величины просто выражаются через статистическую сумму системы. Для канонического ансамбля имеем

Для систем, единственным внешним параметром которых является объем V, можно записать дополнительные соотношения

Отклонения термодинамических функций от значении, соответствующих идеальному газу, можно выразить через параметры уравнения состояния и вириальные коэффициенты. Так, для внутренней энергии U имеем

471