Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

польного момента d во вращающейся системе, и подставляя фор^ мулу (11.46) в выражение (11.34), находим

Здесь индексы i n f при квантовых числах обозначают принад­ лежность к верхнему или нижнему уровню.

которого видно, что каждая из боковых компонент линии L а расщепляется на две, а центральная — на три компоненты, две из которых симметричны относительно третьей невозмущен­

ной.

Основное отличие реальной задачи об излучении атома при столкновении с заряженной частицей от рассмотренного приме­

130

ра заключается в том, что при переходе во вращающуюся си­ стему координат электрическое и магнитное взаимодействия оказываются зависящими от времени. Однако решающим об­ стоятельством для возможности использования настоящего ме­ тода в реальной задаче является возможность диагонализации гамильтониана, которая обусловлена наличием двух выделенных направлений (щ и ю2. При этом достаточным условием примени­ мости рассмотренного метода является независимость от вре­ мени отношения Q(t) / (а'/е) F (t) [11, 13]. Интересно, что имен­ но такое положение существует в действительности: во вращаю­ щейся системе мгновенная угловая скорость Q(t) и поле F(7) имеют одинаковую зависимость от времени, так что угол, обра­ зуемый их векторной суммой с полем F, не меняется в процессе столкновения.

4.Коган В. И. Уширение спектральных линий в высокотемпературной плаз­ ме.— В сб.: Физика плазмы. Под ред. М. А. Леонтовича. М., Атомнзда г, 1958, т. 4.

9.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963.

10.Ларкин А. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1959, т. 37, с. 264.

11.Лисица В. С., Шолин Г. В. «Ж. эксперим и теор. физ.», 1971, т. 61, с. 912.

12. Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. М, Физмат­ гиз, 1963.

13.Шолин Г. В., Лисица В. С., Коган В. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1970, т. 59, с. 1390.

14.Elwert G. Zs. Naturf., 1954, В. 9а, S. 637.

15.Grieni Н. R. Zs. Phys., 1954, В. 137, S. 280.

16.Hoffman H., Theimer О. Astroph. J., 1958, v. 31, p. 134.

17.Holtsmark 1. Ann. Phys., 1919, v. 58, p. 577.

5*

Г л а в а ш е с т а я

СДВИГ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ

И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ

СЛАБО НЕИДЕАЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ

§ 12. СДВИГ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ

При рассмотрении ионизационного равновесия в дебаевской частично ионизованной плазме было показано, что взаимодейст­ вие атом — заряженные частицы приводит к эффективному сни­ жению потенциала ионизации атомов и сложных ионов в ре­ зультате ограничения статистической суммы. Если плотность за­ ряженных частиц не слишком мала, то это взаимодействие при­ водит также к сдвигу связанных состояний, который необходи­ мо учитывать при вычислении термодинамических функций плазмы.

Изучим сдвиг одноэлектронных состояний ионов в дебаев­ ской плазме (например, сдвиг уровней Ней) с использованием двухчастичной функции Грина. Вычислим сдвиг уровней свя­ занных состояний с помощью четырехмерной теории возмуще­ ний с привлечением уравнения Бете — Солпитера [2].

Теория возмущений. Рассмотрим систему кулоновских частиц в объеме V в состоянии термодинамического равновесия при температуре р-1. Связанные состояния двух частиц описыва­ ются двухчастичной функцией Грина, полюса которой опреде­ ляют уровни дискретного спектра [1]. Рассмотрим такие термо­ динамические условия, когда в плазме преобладают связанные системы из иона с зарядом Z и электрона. Если энергия взаимо­ действия такой системы с плазмой достаточно мала, то указан­ ные полюса можно искать по теории возмущений. Выпишем

ния Шредингера (это будет показано ниже). Во всяком случае, априори ясно, что это уравнение содержит в себе более богатую информацию о свойствах системы по сравнению с уравнением Шредингера уже хотя бы потому, что оно является интеграль­

132

ным. В частности, уравнение Бете — Солпитера описывает не только потенциальное взаимодействие между частицами, но и взаимодействие, зависящее от времени, т. е. «потенциал» U(q), входящий в уравнение (12.1), вообще говоря, зависит не только от вектора импульса q, но и от четвертой компоненты q4. По­ скольку рассматривается уравнение для температурной функции Грина G2 , четвертые компоненты импульсов могут принимать лишь дискретный ряд значений:

р4 — (2/с+ 1)лР-1, /с = 0, 1, 2, . . .

Это связано с тем, что в температурных функциях Грина мни­ мое время т меняется в конечных пределах. Такой набор зна­ чений четвертой компоненты импульса характерен для системы фермионов. Для бозонов суммирование проводится по четным

Действительно, в координатном представлении [точнее, в представлении (г, т)] свободная температурная функция рас­ пространения Go является разрывной функцией т. Это, кстати, затрудняет применение мацубаровской техники в координатном пространстве. Пусть

= Y [1 — exp (— icoKT)] [ exp (icoKr) G0(t) dx. 0

Следовательно, Go(u)к) фО при coK= (2к+1)лф-1, что и требова­ лось показать.

133

Ниже будет видно, что четвертые компоненты импульса опи­ сывают энергию частиц или энергию системы частиц. Не будем приводить здесь вывод уравнения Бете — Солпитера, поскольку его можно посмотреть в любом учебнике по функциям Грина в квантовой статистике, а перейдем к построению теории возму­ щений на основе уравнения (12.1), считая, что это уравнение нам уже известно. Перейдем к относительным переменным, вы­ делив «центр масс»:

Во всех предыдущих уравнениях обобщенная 6-функция имеет следующий смысл:

некера. Входящие в выражения (12.1) и (12.3) одночастичные функции Грина являются функциями распространения свобод­ ных частиц [1.5]

где ер — кинетическая энергия свободной частицы; ц — химиче­ ский потенциал.

Нетрудно видеть, что функция Чг(р, р', g) удовлетворяет уравнению

'г <л ^ > = ^ Ч т + р ) Ч т - ,,) х

Хотя суммирование записано здесь лишь по четвертой компо­ ненте импульса р, в результате получается функция, зависящая лишь от векторов р и р' (при этом импульс «центра масс» оста­ ется четырехмерным).

Суммирование по четвертым компонентам импульсов чрезвы­ чайно удобно проводить с помощью изящного приема, описан­

134