Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

ного Е. С. Фрадкиным [4]. Пусть необходимо вычислить сумму

2 F ( ..., р4) по четвертой компоненте импульса от некоторой

Pi

функции F ( . . Ра). Рассмотрим контурный интеграл

§F ( . . ., z)f(±) (z)dz

в комплексной плоскости переменного z. Вспомогательные функ­ ции выберем в виде

/(±) (г) = ± ip/[l + exp (+ ipz)],

где верхний знак соответствует фермионам, а нижний — бозо­ нам. Поскольку подынтегральная функция на бесконечности об­ ращается в нуль, то § = 0. Кроме того, полюса функций совпадают с дискретным набором значений р4, по которым про­ водится суммирование, поэтому *

135

Если же одна из функций G0 ионная, а другая электронная, то

где т и М — массы электрона и иона соответственно. Следова­ тельно, в результате суммирования обеих частей уравнения (12.5) получим

Обозначив ig4—(g2/4 т) +2 ц — Е', можно видеть, что уравнение (12.10) совпадает с неоднородным уравнением Шредингера для относительного движения двух частиц, собственные значения ко­ торого определяют невозмущенные уровни энергии.

Суммирование по четвертой компоненте импульса выражения (12.5) оказалось столь простым ввиду предположения, что взаи­ модействие u(q) =w(q), т. е. не зависит от <74. При рассмотре­ нии взаимодействия атома или иона с плазмой к ядру инте­ грального уравнения (12.5) «(q) добавляется дополнительный член Ди, зависящий, вообще говоря, от <74. Чтобы найти сдвиг энергии, возникающий от A«(q, <74), можно построить теорию возмущений, аналогичную четырехмерной теории возмущений в квантовой электродинамике [3]. Пусть Ч ^ р ) — волновая функ­ ция; Еп — собственное значение некоторого стационарного со­ стояния, описываемого уравнением Шредингера:

Fn (р) = £ n — — .

т

Аналогично уравнение (12.5) для этого состояния имеет следую­ щий операторный вид:

[Fn (р) — Ц Ф„ (р) = 0,

( 12. 12)

^Фп (Р) = - ± - ^ $ d q u ( q ) ф „ ( р - 9, р \ g)

Чк

Тогда собственная функция фп(р), соответствующая состоя­ нию п, может быть записана в виде

(12.13)

1.36

Для некоторого постоянного значения Дд, не совпадающего с Еп, введем две новые функции:

и пусть решением соответствующего возмущенного уравнения является функция (совпадающая с функцией фп(р) при Аы-^0). Пусть далее собственное значение энергии, соответст­ вующее этому решению, равно

ножая уравнение (12.18) слева на фп .получаем с учетом (12.17)

и (12.18)

Пренебрегая членами второго порядка малости, получаем пос­ ле суммирования по р4

Нетрудно видеть, что, когда Ди не зависит от р4, получается, обычная поправка к энергии в первом порядке теории возму­ щений для уравнения Шредингера.

137

Аналогично можно показать, что при наличии вырожденных невозмущенных состояний сдвиг АЕ следует находить из секулярного уравнения

2п‘( G n , П' — Д £ 6 п , п ’ ) с п ' = О ,

где п, п' пробегают все значения, относящиеся к невозмущен­ ному уровню ЕПу а

с выводом Солпитера для сдвига уровней в квантовой электро­ динамике. Разумеется, эту формулу можно получить более про­ стым путем (что легко проделает каждый читатель).

Вычисление сдвига уровней в дебаевской плазме. В случае двух разных связанных частиц (ион с зарядом Z и электрон) следует писать:

где т0 = тМ/(т + М), а це и ц ,— химические потенциалы элект­ ронов и ионов. Вычисление Д£п по формулам (12.21) удобно выполнить с помощью диаграммной техники. Пусть сплошная линия диаграммы соответствует свободной одночастичной функ­ ции Грина G0, а пунктир — кулоновскому взаимодействию u(q).

Тогда наибольшие члены, которые дают вклад в Аи, т. е. члены, пропорциональные первой степени плотности, можно изо­ бразить графиками, приведенными на рис. 12. Петли в этих графиках могут быть электронными (е), ионными (t) или атом­ ными (а) и могут вставляться в обе линии. Например, для графика типа 1 с ионной петлей Аи имеет вид:

части, соответствующее графику 2, имеет вид:

(РP i)t .<U

+- f - ) ии (ФdPid4 -

138

Нетрудно убедиться в том, что диаграммы типа 1—3 и 5, 6 дают выражения, расходящиеся при малых q, и для устране­ ния этой расходимости требуется суммировать цепочки из пе­ тель типа е, i и а. В результате такого суммирования получим эффективные «потенциалы» взаимодействия H*(q, <74). Напри­ мер, потенциал для взаимодействия {ее) имеет вид

где Пе — электронная петля

a n p = exp[—р(ер—ц ) ] — числа заполнения в случае статистики Больцмана (так как рассматривается дебаевская плазма).

Рис. 12. К вычислению сдвига уровней атомов и ионов в де­ баевской плазме.

Существенно, что при q->0 величина n(q, q4) отлична от нуля для q4 = 0. Поэтому при суммировании по q4 члены с q4 = 0 дают наибольший вклад, пропорциональный более низкой сте­

(в системе центра масс):

и2 = 4яе2Р [пе + ZJtii + (Z — I)3 па],

139