Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

где пе, щ, па — плотности электронов, ионов и «атомов» соот­ ветственно. Для графиков типа 2 получаются аналогичные вы­ ражения, нужно лишь вместо множителя Z подставить фактор

( Z 2 + 1 ) .

Волновые функции фп(р) для водородоподобных систем мож­ но записать в виде

где CVN (,v) — функция Гегенбауэра (см., например, работу [2]).

Подставляя выражения (12.24) в формулу (12.23), получаем для s-состояний:

Для графиков типа 3 получается следующий вклад в энергети­ ческий сдвиг s-состояний:

Расходящимися при малых q являются также графики типа 5 и 6, где заштрихованным квадратом обозначен «эффективный потенциал»

140

Вычисление вклада от этих диаграмм (графиков «с лестницей») приводит к результату

Для выяснения физического смысла выражения (12.30) вычис­ лим собственную энергию свободного электрона

2 * 0 » ) = 7 Г ^ - У Л ^ С о(Р-9)[^*(Ч, <7*)-^(Ч)Ь 02.31)

(2л)3 р лаЛ J <?<

где

V(q)=-

Яг

Gq(P- q) = (ip* — ><7* + И- — 8 p - q ) - 1 .

В сумме по <74 выделим член с <74 = 0 и рассмотрим подынтеграль­ ное выражение при малых q. Поскольку при <74 = 0 и q= 0, то

Для свободного (невозмущенного) электрона полюса определя­

141

■+ s

2P

Следовательно,

oo

0

Подставляя этот результат в выражение (12.34), получаем

У4’ (р) = —е2к/4ерр.

Следовательно, А Е п в формуле (12.30) представляет собой поправку к собственной энергии «атома», т. е. иона с зарядом (Z—1) при его свободном движении. Действительно, усредняя выражение (12.30) по распределению Максвелла, получаем де­ баевскую энергию иона с зарядом (Z—1)

Д£ = — (1/2) (Z— 1)2е2к.

Этот сдвиг не зависит от состояния «атома». Отметим, что для обменных графиков, например диаграмм типа 4, можно полу­ чить выражения, сходящиеся при всех значениях q, и сдвиг имеет порядок (аох)2р-1, что согласуется с обычным вычисле­ нием обменного интеграла для гелия.

Из формул (12.25) и (12.26) следует, что сдвиг уровней про­ порционален корню из плотности и растет с температурой как Р-1/2. Сдвиг растет также с увеличением главного квантового числа. Эффект (в рассмотренном порядке по плотности) отсут­ ствует для водорода (Z = 1), что физически очевидно ввиду ко­ роткодействующего характера взаимодействия нейтрального ато­ ма водорода с плазмой. О величине эффекта можно судить из сравнения полученного сдвига с линейным штарковским рас­ щеплением

Дшт ~ пе2а0г0п2,

где п — главное квантовое число; г0— среднее расстояние меж­ ду частицами. Легко видеть, что

ДШт/Д£п ~ xr0 < 1.

142

Условие применимости теории возмущений имеет вид АЕп/Еп<С <С1. Следует отметить, что при выводе выражения для сдвига пренебрегалось eg~ P _1 по сравнению с Еп, поэтому получен­ ные формулы справедливы при достаточно низких температурах.

Напомним, что еще в § 5 делалась попытка интерпретиро­ вать результат (12.25) с помощью полуклассического рассмот­ рения эффекта динамического экранирования орбитального электрона. Конечно, столь грубое рассмотрение не позволило получить строгий количественный результат. Однако буквенное выражение (12.21) уже было получено на основе изучения флуктуаций плотности в приближении RPA [см. формулу (5.23)].

§ 13. ДВУХЧАСТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ПЛАЗМЫ

Термодинамические функции частично ионизованной плазмы также удобно вычислять с помощью двухчастичной функции Грина G2, поскольку она описывает состояния двух частиц как в непрерывном, так и дискретном спектре энергий.

Система частиц с короткодействующими силами

Рассмотрим систему одинаковых взаимодействующих частиц в объеме V в состоянии термодинамического равновесия при температуре р-1. Гамильтониан системы представим в виде

где Н0— оператор системы невзаимодействующих частиц; Н {— гамильтониан взаимодействия:

станта взаимодействия. Отметим, что полевые операторы ф(х) и

ф(х) записаны в представлении взаимодействия. Поскольку ста­ тистическая сумма системы связана с термодинамическим по­ тенциалом Q простым соотношением П, 5]

ZN = Sp exp [—р (Я — рЯ)] = exp (—PQ),

то выражение £2 через двухчастичную функцию Грина имеет вид

где Q0 — термодинамический потенциал идеальной системы.

143