Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Г л а д а д е в я т а я

ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ

И ЭЛЕКТРОННАЯ ЖИДКОСТЬ

§ 19. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Если в объеме V, содержащем обычный газ, увеличивать давление и понижать температуру, то свойства газа сначала меняются непрерывным образом, а затем претерпевают каче­ ственные изменения. Они происходят по двум причинам: уси­ ливается взаимодействие частиц вследствие увеличения плот­ ности и с понижением температуры уменьшается роль кинетиче­ ской энергии по сравнению с энергией взаимодействия частиц. При определенных термодинамических условиях газ испытывает фазовый переход первого рода в жидкое состояние. Это состоя­ ние характеризуется сильной корреляцией частиц, которая обус­ ловливает их сцепление в жидкости.

По своему характеру фазовый переход является динамиче­ ским, так как он возникает в результате взаимодействия частиц. Этот чисто классический эффект приводит к появлению клас­ сической жидкости. При дальнейшем понижении температуры кинетическая энергия жидкости также уменьшается, а взаимо­ действие частиц начинает играть относительно все большую роль. Вследствие этого почти во всех случаях* наблюдается фазовый переход из жидкого состояния в твердое. Если не гово­ рить о квантовых жидкостях, которые составляют исключение в природе, переход в твердое состояние нормальных жидкостей

дебройлевская длина волны становится сравнимой со средним расстоянием между частицами. Поскольку й для частиц с мас­ сой порядка атомной достаточно мала при температурах ~ Т Кр, то обычная жидкость испытывает фазовый переход в твердое состояние, оставаясь классической системой.

Однако для электронов, которые больше чем на три порядка легче атомов, дебройлевская длина волны при той же темпе­ ратуре в такое же число раз больше. Ясно, что квантовые эффекты в электронной жидкости, если такая существует, дол­

217

турах), чем в более тяжелых жидкостях. Оказывается, чтоквантовой жидкостью с известными оговорками можно считать электроны проводимости в металлах, в меньшей степени в полу­ металлах и вырожденных полупроводниках. Для электронов проводимости в металлах квантовые эффекты начинают прояв­ ляться при температурах порядка температуры вырождения (~ 5 эв), для полуметаллов — при температуре порядка 0 ,1 э й .

Вследствие большого радиуса кулоновского взаимодействия «заряженная» ферми-жидкость заметно отличается от нейтраль­ ной. В такой жидкости имеют место, например, экранирование и плазменные колебания. Кроме того, электронная жидкость в металлах неоднородна, поскольку электроны в твердом теле движутся в периодическом поле ионной решетки. Особенно хорошо изученной моделью металла является модель газа взаимодействующих электронов, согласно которой периодически распределенный заряд ионов заменен равномерно распределен­ ным по всему кристаллу положительным компенсирующим за­ рядом. Такая модель лучше всего описывает простые металлы (например, щелочные), в которых электроны ведут себя почти как свободные, т. е. периодический потенциал может рассматри­ ваться как возмущение, лишь слабо искажающее движение электронов. В некоторых случаях можно достаточно точно ввести поправку на периодическую структуру поля.

Изучение свойств электронной жидкости представляет особый интерес, поскольку основная задача настоящей работы — изуче­ ние термодинамики плазмы. Поэтому имеет смысл рассматри­ вать систему заряженных частиц, в частности электронную жидкость, не только для плотностей, характерных для метал­ лов *, а также для меньших и больших плотностей. Изучение термодинамики электронной жидкости при больших плотностях полезно по двум причинам. Во-первых, такая система может иметь отношение к некоторым астрофизическим явлениям, на­ пример к коллапсам внутри звезд. Во-вторых, получение сколь­ ко-нибудь точного решения задачи в предельном случае полезно для построения разумных интерполяционных формул.

При изучении свойств электронной жидкости возможны два подхода: макроскопический и микроскопический. Первый из них основан па обобщении построенной Л. Д. Ландау в 1956 г. полуфеноменологической теории макроскопического поведения нор­ мальной ферми-жидкости при низких температурах. Однако макроскопическая теория, сколь бы хороша она ни была, не может объяснить ряд явлений, которые интерпретируются лишь на основе микроскопического рассмотрения. Так, теория Л. Д. Ландау неприменима к тем микроскопическим явлениям, для которых характерны длины порядка расстояния между

* Характерная плотность электронов проводимости в металлах соответ­ ствует значениям параметра г ,= г | /а,=2-ь5.

218

частицами или энергии, сравнимые с энергией частицы на по­ верхности Ферми. В случае больших длин волн и малых энер­ гий возбуждения обобщение теории Ландау, т. е. макроскопи­ ческий подход к описанию свойств системы, может дать существенную информацию. В частности, такая теория может ответить на вопрос о том, на какие свойства системы взаимо­ действие между электронами не оказывает заметного влияния. Кроме того, макроскопическая теория в пределах своей приме­ нимости позволяет определить минимальное число параметров, необходимых для описания того или иного свойства системы.

Точной и достоверной микроскопической теории электронной жидкости в настоящее время, к сожалению, не существует. При­ ходится поэтому прибегать при вычислениях к грубым моделям и представлениям. Это относится как к термодинамике соб­ ственно плазмы, так и к теории металлов. Однако в некоторых случаях комбинация микроскопического и макроскопического подходов позволяет делать не только качественные, но и коли­ чественные заключения о термодинамических свойствах системы. Это замечание не касается, конечно, таких характеристик, как корреляционная энергия электронного газа, плазмоны и др., для описания которых необходима только микроскопическая теория.

§ 20. ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ ЗОММЕРФЕЛЬДА

Наиболее простая кваптовомеханическая модель для опи­ сания поведения электронного газа в металлах была предло­ жена Зоммерфельдом в 1928 г. Согласно этой модели кулонов­ ское взаимодействие электронов не учитывается, а многоэлек­ тронный характер задачи принимается во внимание при рас-" пределении электронов по состояниям (плоским волнам) в соответствии с принципом Паули. В рассматриваемом газе электроны распределены по различным квантовым состояниям таким образом, что полная энергия газа имеет наименьшее возможное значение. Поскольку в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы, то электроны запол­ няют все состояния с энергиями от наименьшей (равной нулю) до некоторой наибольшей, которая определяется числом элек­ тронов в газе N.

Если система заключена в куб со стороной L и на границах заданы периодические граничные условия, то одноэлектронные

где /.г — спиновая часть волновой функции, индекс а характе­ ризует направление спина и вектор импульса. Энергия элек­ трона не зависит от направления спина и равна eh=fr2k2/2 т.

219

При этом многоэлектронная волновая функция в модели Зоммерфельда есть произведение одноэлектронных волновых функций

i-=1 1

где Хг — пространственная и спиновая координата электрона. Поскольку электроны не взаимодействуют, то энергия всей системы

Значения вектора к представляют дискретный ряд и опре­ деляются периодическими граничными условиями:

к = (2я/1) п,

где компоненты вектора п — целые числа. Следовательно, плот­ ность узлов для одного направления спина равна

dnxdnydnz/d3k = (L/2л)3 = р (к).

Тогда переход от суммирования по к к интегрированию в к-про- страпстве для любой функции /(к) совершается по правилу*

V/(k)к = (L/2jt)»j7 (k)dk.

Какие волновые векторы к должны фигурировать в волно­ вой функции (20.2)? Согласно принципу Паули, каждому зна­ чению к можно поставить в соответствие не больше двух электронов (с противоположными спинами). При пулевой тем­ пературе (р = оо) энергия системы минимальна, если электроны заполняют в соответствии с принципом Паули N наинизших состояний. Таким образом, приходим к распределению по им­ пульсам, представляющему собой две заполненные сферы Ферми— по одной для каждого направления спина, в которых заняты все состояния вплоть до некоторого максимального им­ пульса hk р.

Величина kF определяется из условия, чтобы в занятой части пространства импульсов содержалось N/2 векторов, т. е.

N = 2 n&dk (L/2n)3= L ^ /Зл2.

о

Таким образом, максимально возможное значение kF опреде­ ляется плотностью электронов n = N(V:

* Отметим, что рассматриваемый объем системы V=L3 предполагается достаточно большим, так что спектр дискретных значений k можно считать квззинепрерывным.

220

Объем, приходящийся на один электрон, можно выразить через среднее расстояние между электронами г0:

Ve =i / n = (4я/3) г3 .

Удобно ввести безразмерный параметр, который будет часто использоваться в дальнейшем: гя = Го,'ао, где flo — боровский радиус. Тогда

где Ry = me'lj2h2. Поскольку концентрация электронов в боль­ шинстве металлов соответствует значениям параметра rs —

= 2-=-5,5, то

Среднюю энергию, приходящуюся на частицу, условно можно> записать в виде (она, конечно, совпадает со средней кинетиче­ ской энергией, приходящейся на частицу в газе Зоммерфельда):

Отметим, что eF и еКШ1 пропорциональны п2/3. Энергия Фер­ ми' eF имеет простой термодинамический смысл. Действительно,, функция распределения Ферми по квантовым состояниям

в пределе низких температур (|}—>-оо) обращается в единицу при

22 Е