Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

тде S — энтропия, легко получить выражение для термодинами­ ческого потенциала вырожденного электронного газа

5 т

Поделив это выражение па объем системы, получим выражение для давления с обратным знаком. Таким образом, уравнение

•состояния зоммерфельдовского электронного газа имеет вид

Полученные формулы для макроскопических величин при­ ближенно верны также и при температурах, достаточно близких (при данной плотности газа) к абсолютному нулю. Поскольку температура вырождения в металлах порядка нескольких электронвольт, параметр вырождения (|3ер)-1 остается малым при температурах, составляющих десятые доли электронвольта (сотни градусов) *.

При конечных температурах функция распределения Ферми плавно меняется вблизи границы Ферми ер. Говорят, что сту­ пенчатая функция распределения, соответствующая вырожден­ ному электронному газу, «размазывается». Если температура системы невелика, то размазывается лишь малая область вблизи поверхности Ферми, т. е. бkfkpta ((Зе^)-1. Физически это ■означает, что только доля электронов порядка (ре^)-1 принимает участие в тепловом возбуждении. Остальные 1—(Ре^)"1 элек­ тронов «выморожены» согласно принципу Паули. Поэтому априори ясно, что в этих условиях теплоемкость электронного таза, близкого к состоянию полного вырождения, должна быть мала, ибо малая доля электронов способна участвовать в явле­

как возмущение, должна быть меньше температуры Дебая, которая порядка сотен градусов.

222

ного ферми-газа. Рассматривая второй член как малую до­ бавку, легко получить выражение для любой термодинамической функции. Например, выражая ц через Т и V, имеем для сво­ бодной энергии

** Предлагаем читателю убедиться в том, что выражение для теплоемко­ сти совпадает с выражением для энтропии S.

223

Теплоемкость удобно выразить через плотность одночастич­ ных состояний на поверхности Ферми pF:

ких температурах не только подтверждает ее линейную зави­ симость от температуры Т, но для ряда металлов дает доста­

для данного элемента. Как видно из табл. 6, модель свободных электронов при Na, равном числу валентных электронов на атом, является не такой уже плохой для перечисленных метал­

рое не является слабым), ни взаимодействие электронов с фоно­ нами не оказывает существенного качественного влияния на электронную часть теплоемкости. Не исключено, что влияние решетки в какой-то мере компенсирует коллективные эффекты, связанные с дальнодействием кулоновских сил. Столь хорошего соответствия простейшей теории с опытом не наблюдается ни для полуметаллов типа Ш или Sb, ни для переходных метал­ лов, для которых влияние периодического потенциала играет большую роль.

.224

Если модель свободных электронов приводит к разумному результату для теплоемкости при наличии малого параметра (Рер)-1, характеризующего слабое возбуждение системы, то не

вой поляризации электронного газа запишем «парциальные плот­

Считая, что магнитное поле слабо поляризует «замороженные»

электроны в сфере Ферми, что имеет место при реЯ<Се^, раз­ ложим энергию основного состояния электронного газа, прихо­ дящуюся на одну частицу, в ряд по степеням отношения Р/п:

Е(Р) = Е (0) + аР2 — Рр,Я,

а=(2/3)е^. Следовательно, парамагнитная восприимчивость идеального электронного газа

3_

(20.18)

2 '

Спиновая восприимчивость электронов проводимости в щелоч­ ных металлах (Li, Na) была получена экспериментально с по­ мощью комбинации эффектов электронного спинового и ядерного магнитного резонансов [8]. Сравнение данных опыта с результатом (20.18) приведено в табл. 7.

Более строгое рассмотрение поэтому приводит лишь к уточ­ нению изложенной выше теории. Учет влияния периодической структуры решетки при вычислении теплоемкости и спиновой восприимчивости также приводит лишь к поправке. Физически это связано с тем, что указанные величины зависят от пове­ дения электронов в непосредственной окрестности поверхности Ферми. Поэтому наиболее просто поправка на периодическую структуру внешнего поля вводится с помощью эффективной массы электрона т*. В простейшей модели, когда поверхность Ферми является сферической, т* определяется из выражения

усреднением градиента одиоэлектронпой энергии в к-простран- стве:

При корректном вычислении теплоемкости и спиновой вос­ приимчивости следует учитывать также воздействие электро­ нов друг с другом и с фононами. Оказывается, что учет послед­ него взаимодействия важен при вычислении теплоемкости, но практически не сказывается на спиновой восприимчивости. Поправки на взаимодействие электрон — электрон и электрон — фонон можно получить с помощью замены спектра свободных частиц спектром квазичастиц, соответствующих рассматривае­ мому взаимодействию.

§ 21. ПОПЫТКА УЛУЧШЕНИЯ МОДЕЛИ ВЫРОЖДЕННОГО ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА

Энергия зоммерфельдовского газа свободных электронов может быть получена из вариационного принципа, хорошо из­ вестного в квантовой механике. Если волновая функция системы есть произведение одноэлектронных волновых функций [см.

226