выражение (20.2)], то, минимизируя энергию системы, получаем уравнение для одночастичных волновых функций фа :
|
|
|
1 |
Фа (г) = е«фв (г). |
(21. 1) |
|
р+ ос |
I |
r - Г ' I |
|
|
|
|
|
части этого уравнения, которое |
назы |
|
Второй член в левой |
|
|
вается у р а в н е н и е м |
|
X а р т р и, описывает среднее |
поле, |
действующее на данный электрон. Метод Хартри является
самосогласованным, |
если первоначально выбранные функции |
— собственные функции уравнения |
(21.1). Если это не так, то |
применяется метод |
последовательных |
итераций. В случае газа |
свободных электронов функции фа— плоские волны, удовлетво ряющие уравнению
-£ -ф а ( г ) - е а фа (г). |
(21.2) |
Из-за наличия равномерно распределенного фона положи тельного заряда средняя напряженность поля, действующего па электрон, равна нулю. Поэтому плоские волны представляют собой решения уравнения Хартри. Следовательно, приближение Хартри не может внести ничего нового по сравнению с рассмот ренной в предыдущем параграфе теорией для зоммерфельдовского газа свободных электронов. В приближении Хартри не учитывается не только взаимодействие электронов, но и прин цип Паули. Учет взаимодействия электрон — электрон рассмот рим ниже, а сейчас определим поправку к энергии системы, связанную с обменным взаимодействием электронов. Это просто сделать в приближении Хартри — Фока, которое получается из вариационного принципа, но в качестве волновой функции системы при этом используется должным образом антисимметризованная комбинация одноэлектронных волновых функций.
С учетом условия нормировки Ф выражается через детер минант Слэтера:
|
Фх (ri) |
Фа (П) • |
• |
■Фд, (гх) |
Ф - |
Фх (С) |
Ф2 (Га) • |
• |
• % (Га) |
У N |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф хМ |
Ф2(» ) |
• |
• . % ( r N ) |
Тогда одноэлектронные волновые функции, согласно вариацион ному принципу, удовлетворяют уравнению Хартри — Фока:
+ |
(Г) |
|
Р |
— е2 |
Фа (Г')^> Фр (г) = еафа (г). (21.3 |
Это уравнение отличается от уравнения Хартри обменным членом. Задачу можно по-прежнему решать с помощью итера-
ций, беря в качестве фа и фр плоские волны. Поскольку плоские волны удовлетворяют уравнению (21.1), необходимо показать, что они являются также и собственными функциями обменного члена:
/ W |
ikr = - еа V f dr'e~'k r' — - Ц - eikr eik'r = |
|
|
-Й—JJ |
I г— г' I |
|
|
|
ч * |
|
|
|
= еа " V Г dr' expt ~ ‘ (k~ k ') (r-г'И eikr = _ y i |
4ле* eikr |
(2j 4) |
Z a ) |
I r - Г ' i |
Z A I k - k ' |2 |
• |
k' |
|
k' |
|
|
Отметим, что, как и в последующих формулах, необходимо сум мирование по к', соответствующим электронам с параллельными спинами. Кроме того, сумма по к' не содержит члена с к= к'.
Из выражения (21.4) видно, что плоские волны действи тельно являются собственными функциями обменной части га
мильтониана НобмЭнергия электрона в приближении Хартри—■ Фока
£& ,а |
1i2k~ |
4ле2 |
hW |
(21.5) |
2т |
у |
- - V . UaN,q'vq+k, а ■ |
|
jAJ I k —k' |2 |
2m |
|
|
|
k' |
q |
|
Следовательно, энергия основного состояния в расчете на один электрон есть
Ех- ф — |
|
_____1_ 4 ^ 1 Что?2 .1 _1__ / 2,21 |
0 , 9 1 6 \ |
Ашк 2т |
■к' |:i} N |
Ry- |
|
к |
к-к' |
|
Этот же результат легко получить с помощью вторичного кван тования. Такой подход необходим также для введения понятия элементарных возбуждений и квазичастиц. Гамильтониан си стемы
удобно выразить через флуктуации плотности пк, являющиеся фурье-компонентами плотности п:
п( г) = Z s (r — r/) = |
S nkexp(ikr). |
(21.7) |
i |
k |
|
Соотношение (21.7) написано для единичного объема системы.
Поскольку Пк = Хехр(—ikr), а фурье-компонепта |
кулоновской |
энергии взаимодействия |
Uh = iae2jk2, то |
|
Н = |
S |
и к( пк + пи |
(21.8) |
|
V 2 |
|
|
|
|
Поскольку электронный газ рассматривается на фоне положи тельного, равномерно распределенного заряда, при суммиро вании по к необходимо опустить член с к= 0, в силу квазипейтральности системы.
Впредставлении
Я= £ 6ра£с<
р, о
вторичного квантования (см. приложение)
а + |
S |
^k<r+. |
а+ . ,а |
,а |
,(21.9) |
|
к p+k, a |
q—к, а' |
q, а |
р, а’ ' |
' |
P.q.k
где ер=р2/2т — энергия свободного электрона, а операторы рождения и уничтожения частиц удовлетворяют правилам анти коммутации для фермионов:
|
ар,о’ V .a 'l = [ < « : |
a?,a'] = °; |
|
/N |
/S |
"1 |
|
|
a t . O’ |
ap'. o' I = V |
p' 6o, o'- |
Рассмотрим |
теперь |
в |
рамках |
приближений Хартри и |
Хартри— Фока |
энергию |
основного |
состояния и элементарные |
возбуждения системы с гамильтонианом (21.9). Нужные резуль таты можно получить как первые члены ряда теории возмуще ний. При таком подходе главным членом в гамильтониане считается кинетическая энергия, а потенциальная рассматри вается как возмущение. Это оправдано в предельном случае высокой плотности электронов.
Если полностью пренебречь потенциальной энергией, то волновая функция основного состояния системы, которую обо значим |0> , будет описывать состояние с полностью заполнен ной сферой Ферми. По определению волновой функции основ ного состояния к заполненной сфере Ферми нельзя добавить
частицу, т. е. ap,a|0> = 0 при |р |>/?*■, и нельзя уничтожить электрон вне сферы Ферми, поскольку их там нет, т. е. dp,a|0> = = 0 при |p |> p F. Поэтому плотность
|
п |
|
— < 0 |
at o ap,G |
1 при р < pF; |
(21. 10) |
|
Р, о |
О при р > рр, |
|
|
\ |
|
а энергия основного состояния в расчете на одну частицу в нулевом по взаимодействию приближении равна просто средней кинетической энергии на один электрон:
Е к ин = ом о |
2 |
sDa f |
a |
р, a |
0\ = (2,21/ $ Ry. (21. 11) |
|
р, a |
|
|
Р, О |
|
|
|
|
Вычислим теперь энергию основного состояния в первом порядке теории возмущений. Формально эту поправку, отнесен ную к одной частице, можно записать в виде
Е г = -L / о |
U„ |
а+ , , а |
, а |
|
О4), (21.12) |
a+,, |
|
N |
Р+к, a |
q—к, ст' |
q, а' |
р , а |
|
|
р, q, к, а , а ' |
|
|
|
|
где, как и в формуле (21.11), записано усреднение по волновым функциям «вакуума», которым в задаче многих фермионов яв ляется заполненная сфера Ферми.
Обсудим физический смысл суммы произведений операторов рождения и уничтожения электронов, записанной в выражении (21.12). Прежде всего отметим, что это выражение отлично от нуля для процессов, в которых внутри сферы Ферми уничтожа ются две частицы, а две другие вновь возникают там, так что вся система возвращается в исходное состояние. При этом воз можны процессы двух типов. Один из них — прямой. Рождение и уничтожение частиц в нем задается следующими парами
операторов: (а^к.о а Р,о ), (dqLu.a' a q,a')- Этот процесс схема-
Рис. 24. |
К описанию прямого взаи Рис. |
25. График процесса первого по |
модействия электрон — дырка. |
рядка обменного |
типа. |
тически |
представлен на рис. 24, а. |
На рис. 24, б |
изображена |
диаграмма, соответствующая этому процессу. Сплошные линии описывают при этом одночастичную свободную функцию рас пространения (функцию Грина), а пунктирные— взаимодействие. В гамильтониане взаимодействия этому процессу соответствуют члены с к = 0, которые учитывают вклад в энергию взаимодей ствия в приближении Хартри. Эти члены не могут дать ничего нового по сравнению с результатами, полученными в модели Зоммерфельда, поскольку в электронном газе в присутствии равномерно распределенного положительного фона часть взаимо действия с к= 0 отсутствует. Физически это можно интерпре тировать следующим образом: одночастичные волновые функ ции свободного электронного газа есть плоские волны, поэтому самосогласованное поле создается однородным распределением отрицательного заряда, который компенсируется фоном поло жительного заряда.
Другой возможный процесс в первом порядке теории воз мущений— обменный. Рождение и уничтожение частиц в нем задается парами операторов: (d++k а dq,a), (d+_k а, dp,а). Чле
ны в гамильтониане, соответствующие этим операторам, отличны от нуля при сх=а', т. е. для электронов с параллельными спи нами. Поэтому процесс, соответствующий этим операторам, график которого изображен на рис. 25, а, можно назвать обмен ным. Графическое представление этого процесса приведено на
