Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

жет значительно измениться. При своем движении частица стал­ кивается на своем пути с другими частицами, увлекает их за собой и т. д.

Можно говорить о такой модифицированной частице как о квазичастице. Для нее возможна другая зависимость энергии от импульса по сравнению с той, которая имеет место для сво­ бодной частицы. При достаточно низких температурах можно рассматривать систему как совокупность независимых квази­ частиц. Это представление в задаче многих тел явилось рево­ люционным шагом вперед.

Некоторые важные макроскопические характеристики систе­ мы, например удельную теплоемкость, можно определить из спектра квазичастиц — элементарных возбуждений. Представ­ ление об элементарных одночастичных возбуждениях — квази­ частицах— лежит в основе феноменологической теории фермижидкости Ландау. Такое представление чрезвычайно плодо­ творно и при описании взаимодействия в электронной жидкости.

Остановимся кратко на элементарных возбуждениях в «не­ взаимодействующем» электронном газе. Согласно сказанному выше, такие возбуждения являются одночастичными, а понятия частицы и квазичастицы неразличимы. В основном состоянии

Добавим к системе одну частицу. Основное состояние системы из (/V+1) частиц можно получить, если добавленную частицу поместить в состояние с наименьшей с учетом принципа Паули энергией, т. е. в состояние на ферми-поверхности. Тогда хими­ ческий потенциал вырожденного электронного газа

р = Е0 (N + 1) — Е0 (N) = dE0/dN = рр2/2т,

где pF — импульс Ферми, т. е. химический потенциал равен энергии частицы на ферми-поверхности.

Возбужденные состояния системы лучше определять по отно­ шению к основному состоянию Ео. Возбужденное состояние получается путем переноса определенного числа частиц из об­ ласти внутри ферми-поверхности наружу. Эта процедура экви­ валентна возникновению частиц вне S,F и равного числа дырок внутри S F. Частицы и дырки являются в данном случае элемен­ тарными возбуждениями, а различные наборы этих возбужде­ ний описывают все возбужденные состояния системы. Степень возбуждения характеризуется отклонением функции распреде­ ления от ее поведения в основном состоянии

8пр = Пр— л<°>.

Частице с импульсом p '> p F соответствует б«р =бр,р', а дырке с импульсом р'<Срр соответствует бпр= —бр,р' . При отсутствии

236

взаимодействия между электронами энергия возбуждения си­ стемы есть сумма энергий одночастичных возбуждений, т. е.

(21.23)

р

При низких температурах частицы и дырки возбуждены только вблизи ферми-поверхности, величина бп р имеет порядок еди­ ницы в малой окрестности вблизи S F и пренебрежимо мала за пределами этой области.

В изолированной системе сохраняется полное число частиц. Поэтому число возбужденных частиц равно числу дырок. Это ограничение иногда неудобно. Предпочтительнее работать с си­ стемой, которая эквивалентна большому каноническому ан­ самблю, т. е. характеризуется не числом частиц N, а химическим потенциалом ц. Для этого необходимо рассматривать систему в контакте с большим резервуаром, способным поглощать и поставлять частицы. В этом случае интерес представляет не энергия Е, а свободная энергия, которая при 7 = 0 определяется равенством F= E — juTV. Тогда свободная энергия возбуждений, описываемых отклонением 6га р функции распределения, равна

(21.24)

р

Если число частиц сохраняется, т. е. если Х6гар=0, то выра­ жение (21.24) сводится к (21.23). Как это следует из равенства (21.24), свободная энергия частицы с импульсом р равна р212т. Это соответствует свободной энергии элементарного возбуж­ дения вне ферми-сферы. Внутри ферми-поверхности SF элемен­ тарными возбуждениями являются дырки, для которых бгар= 1. Свободная энергия, связанная с этими возбуждениями, равна

\х. — {р2/2т), а не (р2/2т) — ц. Поскольку fx=pz/2m на поверх­ ности Ферми, свободная энергия элементарного возбуждения с импульсом р (которую не следует путать со свободной энергией на частицу) может быть записана в виде | (р2/2т) — ц|. Этот результат справедлив как внутри, так и вне S F. Заметим, что свободная энергия возбуждения всегда положительна. Это не­ обходимо для обеспечения устойчивости основного состояния.

Рассмотрим, какой характер носит движение отдельных частиц в приближении Хартри — Фока. При движении электрона другие электроны, обладающие тем же спином, что и данный, будут в силу принципа Паули стремиться уйти с его пути. Этот эффект описывается корреляционной функцией gx-o(r). По­ этому можно говорить об обменной дырке в окрестности данного электрона, т. е. области, в которой концентрация других элек­ тронов понижена. Таким образом, в модели Хартри — Фока электрон не свободен, а имеется сложное образование: элек­ трон плюс связанная с ним обменная дырка. Такие модифи­

237

цированные электроны в приближении Хартри — Фока также называют квазичастицами, хотя силовое взаимодействие между частицами отсутствует, а существует лишь корреляция электро­ нов, обусловленная действием принципа Паули.

Зависимость энергии квазичастицы от ее импульса отли­ чается от аналогичной зависимости для свободной частицы.

Вид функции F(pJpf) показан на рис. 27. Иной характер зави­ симости г(р) приводит к изменению температурной зависимости электронной теплоемкости. Теплоемкость пропорциональна плот­ ности одночастичных состояний, отнесенной к единице энергии, на поверхности Ферми. Для плотности состояний можно напи­ сать следующее, достаточно общее выражение:

1

где ek — энергия квазичастицы с импульсом k, \i = BkF — энергия квазичастицы на поверхности Ферми. В приближении Хартри — Фока, согласно формуле (21.25), (c?ek/<?k)ft- ft/,—>-оо, т. е. р*'(е) =0.

Таким образом, в этом приближении получается абсурдный результат для теплоемкости. Следо­ вательно, в данном случае нельзя пользоваться простой формулой (21.5), а следует аккуратно учесть изменение распределения Ферми с температурой. Соответствующее вы­ числение было проделано Бардином [10], который получил С\-~ ~7'/1п7'. Этот результат не согла­ суется с экспериментом [7].

Оказывается, что и другие вели­ чины, зависящие от плотности со­ стояний вблизи поверхности Фер­

ми, например вероятности перехода, в приближении Хартри — Фока противоречат эксперименту. В приближении Хартри — Фока возникают трудности и при исследовании магнитных

238

свойств электронного газа. Спиновую восприимчивость элек­ тронного газа %s в этом приближении легко найти с помощью формулы (20.17). При этом вычисление обменной энергии как функции р предполагает учет деформации сфер Ферми для обоих направлений спина. Тогда а определяется как кинети­ ческой, так и обменной энергией

2 4

ах—ф = — бр -|—— Еобм.

Нетрудно учесть также влияние периодического потенциала решетки на %s. Этот учет сводится к замене массы электрона на поверхности Ферми эффективной массой т*:

Рр/т* = (dehdk)k=k .

где — одноэлектронная энергия с учетом периодического

поля решетки. При этом для простоты рассматривается случай сферической поверхности Ферми. Тогда

2 т . 4 „

ах_ф = т е^— + Т До­

полученные отсюда значения Хх- ф с К ом Для газа Зоммерфельда, а также %э8ксп сопоставлены в табл. 9.

Как видно из таблицы, приближение Хартри — Фока при­ водит к сильно завышенному значению для парамагнитной восприимчивости электронного газа, весьма далекому от экспе­ риментального. Интересно, что более простая модель электрон­ ного газа Зоммерфельда, пренебрегающая обменным взаимо­ действием электронов, приводит к лучшему согласию с экспери­ ментом. Это завышение %s в модели Хартри — Фока легко по­ нять следующим образом. Обменная энергия благоприятствует поляризации спинов, в то время как кинетическая энергия стре­ мится разрушить эту поляризацию. Следовательно, учет обмен­ ных эффектов в случае системы отталкивающихся частиц при­ водит к увеличению Xs-

Интересно, что учет обменной энергии в приближении Хар­ три— Фока приводит к предсказанию ферромагнетизма элек­ тронного газа умеренной плотности (г«ж 5,5). Действительно,

239