Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

сравним энергию двух состояний свободного электронного газа с одинаковым числом спинов, направленных «вверх» и «вниз» (немагнитное состояние), и с одинаковой ориентацией всех спинов (ферромагнитное состояние). Согласно принципу Паули, во втором случае энергия Ферми выше, чем в случае неферро­ магнитного состояния, так как на упорядочение спинов нужно затратить определенную энергию. С другой стороны, получается выигрыш в обменной энергии, поскольку в ферромагнитном со­ стоянии все электроны (а не половина их) дают вклад в обмен­ ную энергию. Численно оказывается, что если pF— импульс Ферми в немагнитном состоянии, то соответствующий импульс в ферромагнитном состоянии Рмакс= 21/3/?^ при условии, что пол­ ное число электронов в обоих случаях одинаково.

Следовательно, энергия, необходимая для упорядочения

= - (0,916/0-0,26 Ry.

Таким образом, полная разность энергий

ОО,

нитной. Однако столь серьезного вывода нельзя делать на основе модели, не учитывающей кулоновскую корреляцию электронов. Дело в том, что учет кулоновского взаимодействия приводит к дальнейшему понижению энергии системы.

Оказывается, что кулоновская корреляция противодействует ферромагнитному упорядочению спинов, так как в ферромагнит­ ном состоянии электронов с антипараллельными спинами нет, и, следовательно, их вклад в энергию основного состояния отсут­ ствует. Фактически корреляция электронов с противополож­ ными спинами оказывается настолько сильной, что электронный газ ни при какой концентрации не может стать ферромагнитным.

Итак, свойства квазичастиц, полученные теоретически в при­ ближении Хартри — Фока, противоречат известным эксперимен­ тальным данным. Особенно грубо эта модель описывает плот­ ность состояний на поверхности Ферми. Чтобы ликвидировать логарифмическую расходимость, содержащуюся в формуле (21.26), нужно учесть кулоновскую корреляцию и экранирование дальнодействующих кулоновских сил.

240

Для улучшения модели вырожденного электронного газа необходимо рассмотреть корреляционную энергию электронного газа, которая определяется как разность точной энергии основ­ ного состояния и £ Х- ф. При реальных плотностях электронного

газа, характерных для металлов, задача вычисления корреля­ ционной энергии очень трудна. В дальнейшем будут рассмотрены различные подходы к решению этой задачи.

Естественной попыткой улучшить приближение Хартри — Фока, казалось бы, является вычисление следующих членов теории возмущений по взаимодействию. Попробуем вычислить поправку к энергии основного состояния электронного газа во втором порядке шредингеровской теории возмущений:

Какие состояния п дают вклад в сумму (21.27) и как ее вычислить? Попробуем сначала проинтерпретировать физически записанные выше выражения. Акт рассеяния, описываемый гамильтонианом (21.28), можно представить следующим обра­ зом: электроны, находящиеся в состояниях р и —q, переходят соответственно в состоянии р + q и —(q + k). Вследствие принципа Паули состояния р и —q должны находиться внутри фермиповерхности SF, а состояния р + к и —(q + k) — вне ее. Матрич­ ный элемент такого перехода, если он возможен, £/к= 4яе2/£2. Соответствующая энергия возбуждения

использовать оператор HlDt, чтобы вернуться в основное состоя­ ние. Эта релаксация системы может осуществиться с помощью двух различных процессов, которым соответствуют различные вклады в энергию основного состояния. Первый можно назвать прямым, ибо возврат системы в основное состояние происходит

241

по тому же «пути», по которому система была возбуждена. Соответствующий матричный элемент равен Uк-

Рис. 28. Иллюстрация прямого взаимодействия элект­ рон— дырка во втором порядке теории возмущений.

Этот процесс изображен сплошными стрелками на рис. 28, а. Затем вследствие повторного взаимодействия друг с другом они возвращаются обратно в свои первоначальные состояния, что показано на рисунке пунктирными стрелками. Графически этот процесс представлен на рис. 28, б. Сплошные линии соответ­ ствуют функциям распространения электронов и дырок, а пунк­ тирные линии описывают взаимодействие с передачей импульсов. Следовательно, вклад прямых процессов в Е2

q. р, к

Ограничения, налагаемые принципом Паули на промежуточ­ ные состояния п в формуле (21.29), учтены в функциях рас­ пределения

ходят в состояния —q и р. Соответствующий матричный эле­ мент равен

— t/p+q_k = — 4ле2/(р + Q+ к)2-

242

Знак минус учитывает изменение порядка следования опера­ торов рождения и уничтожения. Отметим, что обменный процесс возможен, если спины электронов в состояниях р и q парал­ лельны, тогда как для прямого процесса такого условия нет.

Рис. 29. Иллюстрация обменного взаимодействия элект­ рон— дырка во втором порядке теории возмущений.

Типичный пример обменного процесса изображен на рис. 29. Вклад процессов обменного типа в Е2 имеет вид:

лютные значения |р| и |q| должны быть близки к pF, так как условия p <.Pf и |p + k| > p F ограничивают область возможных значений р (и аналогично q) тонким слоем в ближайшей окрест­ ности сферы Ферми. Толщина этого слоя порядка |к|. Ограни­ чения, обусловленные принципом Паули, в случае малых пере­ дач импульса описываются выражением

243

(21.30) в пределе малых k можно заменить р и q на pF и положить

Переходя в выражении (21.30) от суммирования к интегриро­ ванию, получаем

Легко видеть, что эта логарифмическая особенность непосред­ ственно связана с дальнодействующим характером кулоновских сил. Если бы взаимодействие достаточно быстро убывало с рас­ стоянием, то матричный элемент Uк при малых k стремился бы

кнекоторой константе и никакой расходимости не возникало. Эта расходимость задержала систематическое исследование

электронного газа в рамках теории возмущений примерно на 20 лет. Расходимость поправки к энергии во втором порядке теории возмущений представляет лишь одну из трудностей, воз­ никающих при вычислении энергии системы многих частиц по теории возмущений. Другая принципиальная трудность возни­ кает при рассмотрении зависимости от объема каждого из чле­ нов теории возмущений. Поскольку нас интересуют объемные свойства системы, в частности энергия основного состояния элек­ тронного газа, приходящаяся на одну частицу, то необходимо, чтобы получаемые выражения имели смысл в асимптотическом пределе, т. е. когда число частиц и объем системы достаточно велики:

N -»■ оо, V -»• оо, n — N/V — const,

где п — средняя плотность электронов в системе.

Пусть некоторое возмущенное состояние электронного газа |\F ) отличается от исходного, определенного волновой функ­ цией «вакуума» |0 ) , возбуждением нескольких пар электрон — дырка. Примером простой функции, описывающей такое воз­ мущенное состояние, может служить волновая функция

случае макроскопически больших систем оказывается экспонен­

244