на одну частицу в основном состоянии системы с гамильтониа ном (28.1). Поэтому в дальнейшем будем изучать асимптоти ческие свойства системы при jV—voo, V—>оо, n = NjP=const (ос новное приближение Гиббса). Безразмерный параметр зада чи * — среднее расстояние между электронами, измеренное в единицах боровского радиуса:
rs = rja0= (3/4яп)'/,/а0 = (9n/4)v*//yi0, |
(28-2) |
где pF— импульс Ферми.
В задаче возможны два предельных случая, когда решение
может быть получено в виде ряда (вообще говоря, асимптоти |
ческого) по параметру г„. |
Эти случаи подробно рассмотрены |
в предыдущей главе (rg» l |
и rs<Cl). |
Для промежуточных значений г., можно предложить метод |
оценок сверху и снизу для энергии Е макроскопически большой системы:
ЕШ1(гв) < |
... < Еш .(г6) < Е щ +1 (rs) < . . . < Е (rs) < |
< |
.(д) < |
... < ЁШ1(гл), |
(28.3) |
где Е S0j. — (верхняя или нижняя) |
оценка, получаемая |
построе |
нием соответствующих проекций гамильтониана на подпрост ранство ЗЛ{, которое определяется допустимыми конфигурация ми и объемом ячейки (о ячейке см. ниже).
Величина ДздДг.,.) представляется в виде ряда теории воз
мущений по параметру, который определяет отношение неаддитивпой части энергии к аддитивной (значение этих терминов определяется ниже). Этот параметр можно сделать достаточно малым при произвольном значении гя надлежащим выбором объема ячейки V0. Оценка Е ^ . может быть улучшена построе
нием проекций в подпространстве ЭЛ!+ь учитывающих более сложные конфигурации системы, что приводит к оценке Дэд. ( Г.
Системы оценок Ещ. и Е ^ 1сходятся, |
вообще говоря, к точной |
функции |
E(rs). Вычисления в предельных случаях, приведен |
ные ниже, |
дают основание надеяться, |
что сходимость этих оце |
нок достаточно быстрая. Далее будет показано, что система оценок для Еул;, вообще говоря, конечна. Поэтому не возникает
вопроса о характере сходимости. Речь может идти лишь о том, насколько быстро возрастает точность оценок при переходе от
к Е щ +г ■
Получение надежных оценок для энергии при промежуточ ных значениях г* имеет большое значение, так как такое вычис-
* Разумеется, есть еще параметры, характеризующие внешнее поле (на пример, число электронов, приходящееся на одну элементарную ячейку, илиинтенсивность поля |) . Однако, поскольку нас интересуют корреляционныесвойства системы, можно считать внешнее поле слабым (£<С1) и учитывать его по теории возмущений.
лемие позволяет определить энергию системы при любых зна чениях плотности частиц. Обобщение на случай конечных тем ператур позволило бы получить уравнение состояния систем с кулоновским взаимодействием без ограничений плотности.
Здесь следует сделать оговорку, что изложенные в предыду
щем параграфе |
теоремы о |
внутренней проекции оператора |
|
|
/ч |
справедливы для положительно определенного оператора V. |
Казалось бы, это |
ограничение |
является очень серьезным, если |
/ч
вкачестве V выступает оператор взаимодействия. Действи
тельно, тогда указанное ограничение исключает рассмотрение систем с силами притяжения н не позволяет рассматривать связанные состояния системы. Поэтому было бы очень жела тельно доказательство аналогичных теорем для отрицательно определенных операторов. Это позволило бы существенно рас ширить класс задач, которые можно было бы рассматривать предлагаемым методом.
Однако оператор V не обязательно является оператором взаимодействия. В общем случае это лишь часть полного га
мильтониана и никто не запрещает разбивать Н на Я0 и U произвольным способом. Поэтому часто оказывается возмож ным путем вычитания и добавления одинаковых членов в га
мильтониан выделить в качестве U подходящий положительно -определенный оператор. В случае рассматриваемой задачи об электронном газе такого вопроса не возникает, так как опера тор взаимодействия для этой системы является положительно определенным. Как показано в § 27, для атома или иона, га
мильтониан |
взаимодействия |
которых содержит |
отрицательные |
•операторы, |
также |
удается |
положительно определить |
one- |
/ s |
|
|
|
|
|
ратор U. |
|
|
|
|
|
Перейдем |
теперь |
к определению и свойствам |
я ч е и с т о г о |
б а з и с а , построение |
которого — одна из возможностей |
обой |
ти трудности построения внешней и внутренней проекций в за даче мнргих тел, о которых говорилось в § 27. Упомянутые трудности связаны с тем, что число частиц системы N макро скопически велико. Этих трудностей можно избежать, если вы делить из системы некоторую ее часть, например некоторый
•объем Ко, содержащий конечное число частиц, и изучать этот объем с помощью методов, изложенных выше. Эта процедура допустима, если энергия взаимодействия выделенной области с остальной частью системы достаточно мала по сравнению с внутренней энергией выделенной подсистемы, и это «поверх ностное» взаимодействие можно учесть по теории возмущений.
Последнее означает, вообще говоря, что выделенная подси стема содержит достаточно много частиц. В то же время фор мальный аппарат для изучения этой выделенной области не
требует большого числа частиц в ячейке. Так, при |
число |
частиц в ячейке может приближаться к одной-двум. |
В общем |
случае (промежуточные rs) размер ячейки определяется усло вием оптимизации, т. е. так, чтобы число частиц в ячейке было бы не очень большим (иначе возникают большие вычислитель
|
|
|
|
ные трудности, много приближений) и не очень |
малым чтобы |
обеспечить малость неаддитивной части энергии |
по сравнению |
с аддитивной. |
Реализация |
этой программы требует введения |
специального |
формального |
аппарата — вторичного квантования |
в ячеистом базисе.
Построение ячеистого базиса. Разобьем большой ящик объ емом V, в который заключена система, на кубические ячейки объемом У0Положение каждой ячейки будем определять век тором RnУдобно выбирать ячейки так, чтобы каждая из них содержала в себе целое число периодов внешнего поля, т. е. чтобы выполнялось условие:
|
U (r)=7/(r + Rn). |
(28.4) |
В остальном размеры ячеек пока произвольны. |
сле |
Рассмотрим систему функций { ф п . р (г)}, определенную |
дующим образом: |
|
|
ф |
k (r)= |Уо~,/гехР ('кг), |
если г принадлежит п-й ячейке, |
(28 5) |
п’ |
|0 |
в остальных случаях. |
|
Здесь п определяет ячейку, внутри которой данная функция от лична от нуля, а значения к выбираются из условия периодич
ности функции |
(28.5) на гранях кубической ячейки: |
(28.6) |
k t = |
(2я/У'/я) 1, |
i - 0, ± 1, ±2, . . . |
Внутри каждой ячейки функции |
|
|
фп , к (г) |
= V 7 ‘/ !e xp (ik r) |
|
(г принадлежит n-й ячейке) |
образуют при условии |
(28.6) пол |
ную ортонормированную систему функций: |
|
|
[Фп.к Фп.к^г = 6“.ic. |
(28.7) |
|
й„ |
|
|
С учетом условия (28.7) система функций (28.6) ортонормиро-
вана в объеме V. Действительно, |
|
\ Фп к (г)ф„' к' (г) * = бп. П'6к, к'. |
(28.8) |
‘н |
|
Покажем, что система (28.6) полна в большом ящике. Пол нота системы функций по определению означает, что для лю бой функции /(г), определенной и непрерывной внутри п-й ячейки, ее ряд Фурье по функциям ф п.к (г ) сходится в сред нем к /(г):
2 |
|
|
lim J /(r) - g C«.k<Pn, k dr = |
0, |
(28.9) |
где |
|
|
'/( r ) 4>;ik (r) dr. |
|
|
Пусть F ( r) — произвольная непрерывная |
функция, |
опреде |
ленная в объеме V. Обозначим С„,к коэффициенты Фурье этой функции по системе (28.6). Тогда имеет место очевидное ра венство
Сп , к = |
VJ ■F (г) Фп, к (r) dr |
=Vj F (г) Ф„, к (r) dr |
= |
к* (28.10) |
|
С учетом выражений (28.8) |
и (28.9) |
|
|
Нт Г|/г(г)— |
V |
с п, к Фп и (г) |2 cfr - |
|
|
|
V |
п.к |
|
|
|
= y j lini П ^ |
— yjCn.k4P„ к (г) |2 dr = |
0. |
|
« |
vn |
1г |
|
|
|
Этим доказана полнота системы функций {cfn,k} в объеме V. Таким образом, система функций (28.5) образует ортонормироваипый базис в пространстве состояний одной частицы и мо жет быть использована для изучения объемных свойств макро скопической системы наряду с обычным одпочастичным бази сом в виде плоских волн.
До сих пор не использовался явный вид функций (28.5) внутри ячейки. Поэтому описанная процедура (с небольшими изменениями) пригодна для построения ячеистого базиса на произвольной полной ортонормированпой системе функций, определенных внутри ячейки.
Вторичное квантование с помощью ячеистого базиса. В представлении вторичного квантования гамильтониан систе
мы фермионов, заключенных в объеме |
V, |
имеет вид |
|
Я = J d r $+(!■) \^£- + U(r) |
ЧДг) |
+ ~ |
f jd rd r'¥ + (r)f+ (r')« (r — r')V (r') Y (г). (28.11) |
Здесь TF (г)— полевой оператор, характеризующий уничтоже- |
ние электрона |
в точке г. |
Операторы |
Ч/+ |
/ч |
и XF подчиняются |
обычным соотношениям аптикоммутации: |
|
|
|
(?(г), ¥+ (г')} = б (г — г'); |
{Ф(Г), |
Y (!-')} = |
|
= {?+ |
(г) Y+ (г')} |
- |
о. |
|
( 2 8 . 1 2 ) |
