Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Операторы а и а+ подчиняются соотношениям антикоммутации:

X и (г, r')<Pn.ik4(r')«Pn, ki(r).

Гамильтониан (28.15) можно представить в виде суммы «адди­ тивного» гамильтониана и члена, учитывающего взаимодейст­ вие между ячейками:

II* 291

n / п' к ,, к., k3, к4

(28.19)

При этом номер ячейки п выступает в задаче как дополни­ тельное квантовое число. Выражения (28.16) —(28.19) являются точными в том смысле, что гамильтониан в формуле (28.16) в точности эквивалентен исходному гамильтониану (28.11), так что.введение ячеистого базиса само по себе не вносит никаких приближений и не связано ни с какими моделями. В частности,

неаддитивная часть взаимодействия W дает вклад в энергию, который в случае однородной системы пропорционален числу частиц. В то же время введение ячеистого базиса позволяет устранить трудности, возникающие при попытках распростра­ нить методы оценок, приведенные в § 27, на системы с макро­ скопически большим числом степеней свободы.

Собственные функции в представлении ячеистого базиса. Оценки энергии в аддитивном приближении. Физически очевид­ но, что при достаточно большом размере ячеек неаддитивный

член W гамильтониана (28.16) мал по сравнению с # ад и его можно учитывать по теории возмущений. Отметим, что ячей­ ка вовсе не должна содержать макроскопически большое число частиц, как этого требует обычная статистическая механика, которая полностью пренебрегает взаимодействием между «под­ системами». Поскольку для применимости теории возмущений

требуется лишь относительная малость W, то ограничения на размер ячейки могут оказаться значительно менее жесткими, чем этого требует статистическая механика. В частности, рас­ четы для предельного случая г8^>1 подтверждают это.

Энергия системы в нулевом приближении по W равна наинизшему собственному значению аддитивного гамильтониана

(28.20)

П

Поскольку Н„ с различными п коммутируют, то собствен­

ный вектор гамильтониана Яад можно представить в виде пря­ мого произведения собственных векторов гамильтонианов яче-

П

где |Ч ^П> определяется из уравнения Шредингера, описываю­ щего движение частиц в n-й ячейке:

292

В этом уравнении п характеризует номер ячейки, а к — полный набор квантовых чисел, определяющих собственную функцию.

Собственные функции полного гамильтониана (28.16) можно представить в виде

возмущений с желаемой точностью. Таким образом, задача сво­ дится к определению l^n.kX из уравнения (28.22).

Полная система собственных векторов ячейки содержит со­ стояния с произвольным числом частиц (и, в частности, состоя­

основном векторы |Ч/'п,к>, соответствующие равновесному чис­ лу частиц в ячейке N„ = nV0= (N/V)V0. Разумеется, в известных случаях флуктуации числа частиц в ячейке AN„ могут быть не

Nn -\-AN п-

Отметим, что неопределенность числа частиц в ячейке свя­ зана, по-видимому, не только с термодинамическими флуктуа­ циями. Как это видно из введения ячеистого базиса во вторич­ ном квантовании, номер ячейки приобретает смысл нового квантового числа. Поэтому вряд ли можно говорить о строгой локализации определенного числа частиц в ячейке.

Таким образом, вычисление энергии электронного газа сво­ дится к решению уравнения Шредингера (28.22) внутри одной ячейки, содержащей конечное число частиц. Разумеется, эта задача все еще очень сложна и, вообще говоря, не может быть решена точно, поскольку, во-первых, внутри ячейки в общем случае нет малого параметра и, во-вторых, ячейка может со­ держать все еще большое (хотя и конечное) число взаимодейст­ вующих частиц. Поэтому речь может идти лишь о получении оценок сверху и снизу для точного собственного значения мето­ дами, изложенными в § 27.

Уравнение (28.22) описывает систему, заключенную в ячей­ ку объемом Vo и содержащую конечное число частиц. Для такой системы уже сравнительно легко построить несложные подпространства УЛ, обладающие достаточной полнотой по от­ ношению к интересующим нас состояниям |Чгп,к>- Поэтому для оценки значений Еп_к сверху и снизу можно воспользо*

293

эти подпространства. Верхние и нижние граничные значения для Е n.k являются собственными значениями уравнений Шредингера:

Важно, что для основного состояния пространственно однород­ ной системы (или системы в периодическом внешнем поле) E f 0 и E f 0не зависят от п:

Видно, что при оценках энергии основного состояния полная энергия основного состояния большой системы пропорциональ­ на полному числу частиц в системе N. Отметим, что собствен­

Тогда из уравнений (28.28) и (28.29) следует оценка для энер­

где Е0— точное значение энергии основного состояния системы. В заключение параграфа сделаем одно существенное за­

нант из плоских волн в ячейке (28.5)], то уравнения (28.24) и

294

(28.25) описывают в сущности именно движение этих пар. В этом случае приходится решать уравнения Шредингера, за­ висящие от координат двух — четырех квазичастиц, хотя исход­

определяемой характером задачи, а отнюдь не со спектроскопи­ ческой точностью, как это нужно было делать Лёвдину в случае гелиеподобных ионов.

также является эрмитовым проекционным оператором:

другими «свободными» функциями Грина, которые теперь с са­ мого начала учитывают различные взаимодействия внутри ячейки. Задача, таким образом, сводится к диагонализации

гамильтониана 0 Я ад0. Собственные функции этого гамильто-

295