пиана, так же как и гамильтониана Н, принадлежат подпрост ранству ЯЛ=П ЯЛП. Но в подпространстве ЯЛ
ОЯадО = У о н по = у ОпЯпО„ = V н„. |
(29.4) |
Следовательно, гамильтониан ОЯадО можно заменить аддитив-
/ N
ным гамильтонианом 2 Я „, диагонализация которого не пред-
П
ставляет большого труда.
Оценка снизу. В представлении ячеистого базиса гамиль
тониан |
системы |
имеет |
вид |
(28.16) — (28.17). Нетрудно |
видеть, |
что для |
оценок |
снизу |
достаточно уметь |
строить внутренние |
|
/ч |
|
/ч |
|
|
|
проекции Яп операторов Я„. Действительно, поскольку |
|
то |
|
|
Яп < |
Яп, |
|
|
|
Н ^ ^ H n + W = H. |
|
(29.5) |
|
|
|
|
|
|
П |
|
' |
|
|
Следовательно, |
согласно результатам § 27, |
наинизшие собствен- |
|
|
|
/ч |
/Ч |
|
|
|
ные значения операторов Я и Я связаны неравенством |
|
|
|
|
|
Д0 > |
E f . |
|
(29.6) |
Как и в случае построения верхней оценки для Еа, Е |
в прин- |
|
|
|
|
|
|
|
/ч |
цице можно представить в виде ряда теории возмущений по W, и задача сводится к диагонализации аддитивного гамильтониа
на ЕЯП (см. § 27).
П
Однако при построении внутренней проекции, соглас-
/Ч
но (27.11), необходимо явное выражение для Д|/2, что в слу
чае задачи многих тел эквивалентно диагонализации |
гамильто- |
/Ч |
трудность |
ниана Н„. Построить такой оператор нелегко. Эту |
в задаче многих тел можно обойти, построив нижнюю проек цию другого вида. Так, для операторов вида
А = р+ р |
(29.7) |
можно несколько иначе, чем в выражении |
(27.11), определить |
/Ч |
/Ч |
внутреннюю проекцию к на подпространство ЯЛ = ОШ,'- |
A =p+Ofr |
(29.8) |
Покажем, что и в этом случае имеет место неравенство |
О < А < А. |
(29.9) |
Пусть |
О — эрмитов |
проекционный оператор. |
Оператор А, |
очевидно, |
определен в том |
же |
пространстве^, |
что |
и опергГ- |
/Ч |
|
неотрицателен, т. е. для |
любого |ф > |
тор А. Если оператор А |
|
|
|
|
/ч |
(29.8) |
также |
из пространства Ш <cpi Л |ф > ^ 0 , то оператор^ |
неотрицателен. Действительно, |
|
|
|
|
<Ф I А I Ф> = <Ф I Р+Ор | Ф> == <Ф I Р+ОаР | ф > |
= |
|
= < ф | р+О+Ор | ф > = <Орф | Орф> > |
0. |
|
|
Докажем теперь, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л < |
Л. |
|
|
(29.10) |
|
|
/Ч |
/Ч |
поскольку |
|
|
|
Для этого заметим, что 0 ^ 1 , |
|
|
|
<ф |Т _ |
ОI ф> = <ф I (Т— о2) | Ф> = <Ф | о — 6+) (Г— 5) I ф> = |
|
=»<(? — О)ф |(Т — 6 ) ф> > 0 . |
|
|
(29.11) |
Отсюда следует, что для произвольного |ф > из |
простран |
ства Ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
<Ф | А | ф> = <ф | р+0р | ф> = <рф | О| рф> < |
|
|
|
/ \ |
|
/ ч |
/N А |
|
|
|
|
< <Р+ф| 1I РФ) = <Ф|Р+ Р|Ф>. |
|
|
|
что и доказывает неравенство (29.10).— Запишем теперь гамильтониан Н„ в представлении «ячеи
стых» плоских волн: |
|
|
, сч | |
v ^ '/!6s.0exp(ikr) |
внутри n-й ячейки; 0Q |
фп.к.о (Г, |
0 |
вне n-й ячейки. |
| |
При этом, если объем ячейки Vo достаточно велик, можно по ложить*
<кх, к21и | к3, к4> = и ( | ki — к31) б(к4 + к2 — к3 — к4),
где и — оператор взаимодействия электронов. Тогда
|
Нп = 2 |
<ki I Т + U | k3V & kfl„.ki - |
M V 9) 2 « (Ч) + |
|
|
|
|
4 |
|
|
+ (l/2V0)2 « (q )p n +qpn.q> |
(29.13) |
* |
В случае |
необходимости можно ввести |
поправки, |
учитывающие ма |
лость |
Vo- |
|
|
|
где оператор q-й компоненты флуктуации плотности в n-й ячей ке имеет вид
~~+
Pn,q — ^n.k—q.a^n.k.a; k,o
T и U — операторы кинетической энергии электрона и периоди ческого внешнего поля соответственно. При этом в операторы рождения а+ и поглощения а электрона в n-й ячейке явно вве дены спиновые индексы. Последний член в выражении (29.13) учитывает двухчастичное взаимодействие и представляется сум мой по q операторов (29.7), поскольку оператор взаимодейст вия в импульсном представлении d(q)—4ne2/q2 положительно определен. Выбирая далее набор эрмитовых проекционных опе
кая |
|
|
проекцию |
опера |
раторов 0 q |
, легко построить внутреннюю |
тора Нп |
|
|
|
|
|
% = 2 |
<ki I ^ |
I кзЛ к.ап .к, |
(NJ2V0) ^ u ( q ) |
+ |
к ,к . |
|
|
q |
|
|
+ |
(1/2) ^ и (q) b .q O f рал. |
|
(29.14) |
|
|
q |
|
|
|
Перейдем теперь к верхним и нижним |
оценкам |
энергии |
основного |
состояния |
электронного газа на |
компенсирующем |
фоне положительного заряда в двух предельных случаях. Что бы не усложнять выкладок, исключим из рассмотрения перио дическое внешнее поле, т. е. проведем вычисления в упрощен ной постановке задачи. Отметим, что предлагаемый здесь фор мализм диктуется соображениями удобства вычислений и не является единственно возможным. Тем не менее такое кон кретное вычисление является наглядной иллюстрацией эффек
тивное ги |
рассмотренного метода и указывает на малую роль |
пеадднтивпон |
части |
энергии W даже в случае сильной связи |
(rs^> 1). когда число частиц в ячейке мало. |
|
Оценка |
сверху для энергии |
основного состояния! плотного |
однородного |
электронного газа |
на положительном |
компенси |
рующем фоне (rs<cl, |
аддитивное приближение). В представле |
нии ячеистых плоских волн гамильтониан n-й ячейки |
имеет вид |
|
|
|
Яп — р.<* 6 (р) N п,р,0 "Ь |
|
+ (1/2У0) |
^ |
;+ |
|
|
и (q) fln/p.+q.CT, <2п/ра—ч ,о аЯп>р2,а аЯп,рг(29,сг,.15) |
d .P i .<*1 .P t.
где fln.p.a — оператор уничтожения частицы в состоянии (29.12);
р = Пк- е (р) = ра/2т, и (q) = 4ne2/q\
Яп,р,о #П+, р ,0 ^П,р,СГ.
Будем строить внешнюю проекцию оператора #„ на подпро странство ЭЛ, определяемое системой базисных векторов*:
( |
|0п> |
л |
л л |
л |
' |
' (29.16) |
( |
| Фп.Ч (Pi* Р 2) |
= ^ . P t + q O n . P j O n , —Pj—q a n lt —P, I ^ n ) > |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|0п> = |
П в ( 8р - (г)а+р I |
. . . > |
‘ |
(29.17) |
|
|
p |
|
|
|
|
— волновая функция n-й ячейки в приближении |
Хартри — Фо |
ка; р — химический потенциал n-й ячейки, в равновесии одина
ковый для всех ячеек; |
| ... > |
— волновая функция вакуума |
|
|
|
|
J |
1 при * > |
0; |
|
|
|
|
( 0 при х < |
0. |
Подпространство |
состояний |
ЯЛ 2 с |
базисом (29.16) соответст |
вует, |
таким образом, |
конфигурациям, |
которые отличаются от |
| Оп > |
не более чем возбуждением |
двух пар с суммарным им |
пульсом, равным нулю. |
|
|
|
|
Оператор О®2 |
запишем в виде |
|
|
|
0 f 2= |
22 |
I Фп.ч (Pi> Рг)> <Фп.ч (Pi, Р2) I + | On) <0„ |. (29.18) |
|
|
Pi.P j.q |
|
|
|
|
Этот |
оператор |
эрмитов |
и проектирует |
пространство состояний |
n-й ячейки на подпространство ЯЛП. С помощью этого операто ра строим внешнюю проекцию
= О®11н З Т г. |
(29.19) |
Собственныевекторы оператора Н„ принадлежат |
подпрост |
ранству ЯЛ 2. Поэтому вектор основного состояния гамильтониа на (29.19) можно представить в виде
| ^ п> = |
|Оп> + |А¥„>, |
(29.20) |
где |
|
|
№ > - ( l / K 0) V |
Ф,(Р1, p2)|cpn.q(Pi,p2)>. |
(29.21) |
q.Pi.p2 |
|
На функцию Фч(рь рг) наложены условия: |
|
Фа(Pi. Р2) = Фч (Рг. Pi); |
Ф-q (рх, Рг) = Фч (— Рх, — Рг)! |
_________ Ф-q (— Рх, — Рг) = |
Фа(Рх, Рг), |
(29.22) |
* Здесь и далее под р понимаем (р, о ).
