которые можно связать с инвариантными свойствами системы при отражениях.
Подставляя формулу (29.21) в уравнение Шредингера
(28.24), можно получить уравнение для"фч(р1, рг). Однако, как уже было отмечено, метод внешней проекции эквивалентен ва риационному методу Ритца. Оказывается, что в предельном случае малых rs удобнее исходить из функционала вида
ё0 = <¥„ | Нп| ¥„>/<¥„ | ¥„>. |
(29.23) |
Подставляя сюда выражения (29.15) и (29.20), получаем при ближенное равенство
е0 — ех_ф + |
|
* |
| |
~ ~[~ |
^ |
Ф ч (P i. Pa)h [“ я (Рх) + |
|
|
|
<'Fn| 'Fn> |
р0 |
|
|
|
|
|
|
+ Wq (Рг)1 Ф Ч (Рх, |
Рг) Н—^ |
V } |
и (q) [Ф ц (Рх, |
Рг) + |
Ф Ч (Pi. Ра) 1 — |
|
|
|
q . P i . p , |
|
|
|
|
|
|
|
|
и (q) )Ф —q - Pl—р, (Рх, |
Рг) + Ф —q—Pl—Ра (Рх. Рг)1j , |
(29.24) |
причем |
|
|
|
|
|
|
V |ФЧ(Р1) р2) |2; |
|
|
|
<¥п|фп> = 1 + - ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q.Pi.p, |
|
|
|
|
|
|
|
coq (р) = |
|
е (р + |
|
q) — е (р). |
|
|
|
(29.25) |
Здесь |
g — фактор |
|
спинового |
вырождения |
(для |
электронов |
g = 2) ; |
Vo — объем ячейки, причем на этом этапе вычисления V0 |
произвольно; б х - |
ф — энергия n-й |
|
ячейки в приближении |
Харт- |
ри — Фока: |
|
2,21 |
|
0,916 |
|
|
|
|
|
|
|
ЕХ—Ф — Nn |
|
|
о ( У Г ) |
Ry, |
б > |
0. |
(29.26) |
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь 0( V^e) — некоторая |
|
положительная |
убывающая |
функ |
ция V0, явный вид которой с интересующей нас точностью не существен.
Вычислим Фч (рь рг) вариационным методом Ритца. Проб ную функцию Ф ,(Р|, рг) удобно взять в виде:
Ф ч (рх. Рг) |
= rj-PF |
I |
du |
, . |
PlQq (Pl“ ) Qq (Ptu) |
(29.27) |
— |
u (q) |
-------------------- |
|
|
271 |
w |
1 + |
(q) Qq (U) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
Qq (Pu) = |
j* |
exp [— 111<x>q (p)\ exp [iqut/h]; |
(29.28) |
—00
|
|
d3p |
(29.29) |
|
Qg («) = g f |
(2яй)3Qg (pu); |
|
|
а и p — безразмерные вариационные параметры, значения ко торых определяются из условий стационарности (29.23) отно сительно малых изменений а и |3. В результате простого вычис ления получим выражение для энергии ячейки:
|
|
|
СО |
|
г0 = ех—ф -+-. |
— N n |
|
1 |
|
|
|
|
^ n l^ n > |
8 я 6 |
2 я |
|
ХгПп (1 - \ y r sQq (u)/jiY ) ] - |
yrsQq (и)/лЩ + Eib), |
(29.30) |
где Е ^3^— вторая |
обменная |
поправка [см. последнюю |
сумму в |
формуле (29.24)].
Выражение в фигурных скобках полностью совпадает с ре
зультатом Бракнера (см. девятую |
главу). Согласно его вычис |
лениям, это выражение равно |
|
[0,0622 In rs — 0,096 + |
О (rs In г*)] Ry. |
Следовательно, с учетом выражения (28.30) верхняя оценка |
для энергии основного состояния, приходящейся на одну части цу, приводит к выражению
|
+ О (VE6) + |
+ |
(0,0622 In тs - 0,096 + О (rs In г,)}. (29.31) |
|
\ *пI ^п) |
Из выражений (29.25) следует, что слагаемое, пропорциональ ное < У п|Чгп > - 1, возрастает с ростом V'o, поскольку все выра жение в фигурных скобках отрицательно при малых rs. Так как 0(VVe) убывает с увеличением V'o, то Ео как функция объема
ячейки имеет максимум при некотором оптимальном значении У0(/•„). Оценки показывают, что при малых г„ оптимальный объем Уо(Гч) также мал, хотя и содержит большое число ча стиц, а
<^п|Ч?п> = 1+0(r ?) , Y>0 . |
(29.32) |
С учетом этого выражения верхняя оценка энергии основного состояния приводит к результату
Ё0 = M L |
— L M + 0,0622 In г, — 0,096 + О (rs !n rs), (29.33) |
г2 |
rs |
что полностью совпадает с результатом Бракнера. Интересно, что выбор достаточно удачной пробной функции сразу дает для верхней оценки удовлетворительный результат (конечно, с заданной точностью). Это означает удачный выбор подпрост ранства ЭЛ, или, что то же самое, удовлетворительно сконстру
ированного проекционного оператора. Можно, конечно, по- /ч
строить оператор О с помощью менее удачного базиса. Тогда для получения выражения (29.33) потребуется не одно проекти рование, а несколько.
Оценка снизу для энергии основного состояния в предель ном случае плотного электронного газа (rs<Cl, аддитивное при ближение). Для вычисления оценки снизу исходим из гамиль-
тониапа (29.15). Введем проекционный оператор Оч .проекти рующий пространство Ж на подпространство ЭЛ] с базисом
|
I |
I ° п > ; |
(29.34) |
|
( |
| Tn.q (р) = Фпр j-q#n,p I On)- |
|
|
Подпространство ЭЛ i соответствует возбуждению одной пары частиц с импульсом q над исходным состоянием Хартри — Фока
[ 0„>. Внутренняя проекция Н „ и м е е т вид
Я„ 1 = 22 ®(Р) ^".Р + ( W |
) 21 U(Ч) PntqOqPn.q ~ (NJ2V0) ^ « (О)- |
Р |
4^° |
|
(29.35) |
Как нетрудно видеть из этого выражения, точные собственные
функции оператора Н„ принадлежат подпространству ЭЛ2, так что их можно записать в виде
1 Ч'„) - |
I O n ) + I АУп); |
(29.36) |
I АУп) = (1/К0) ^ |
Фд (Pi> Рг) | fPn,q(Pi) Рг))- |
(29.37) |
q.Pi.Pz
Функция Фч(р[, рг) обладает свойствами (29.22).
Уравнение Шредингера для Фч(рь Рг) можно получить'из
условия стационарности функционала (29.23). С интересую щей нас точностью этот функционал имеет вид (29.24) с той
лишь разницей, что Фч (рь р2) всюду заменяют на Фч(рь р2).
|
Отметим, что это, вообще говоря, |
справедливо |
при |
относи |
|
тельно малых К0- |
|
раздела ясно, |
что |
функция |
|
Из результатов предыдущего |
|
00 |
du |
, ч p\Qq (Pl«) Qq (Pi“) |
|
|
Фч(Р1. Pa) = “Pf j |
(29.38) |
|
2Я |
1 + pU (q) Qq (и) |
|
|
|
обусловливает минимум функционала (29.23) не только на классе пробных функций вида (29.38) с вариационными пара
метрами а и р , по и на классе всех непрерывных функций Фд (рь рг). Это следует из того факта, что при определенных
значениях а и р функция (29.38) обеспечивает (с выбранной точностью) бракнеровское значение энергии основного состоя ния, которое является наименьшим возможным для функцио
нала (29. |
23). |
нас степенью точности, |
Таким |
образом, с интересующей |
при г.3< 1 |
|
|
% (Pi, р2) = |
(Pi, Рг) |
И
Е— F = Е
Есть основания полагать, что уже разность Еп(гя)—E0(rs)
имеет при малых г, порядок гя1пг„. Приведенный расчет демон стрирует, в частности, несущественность неаддитивной доли энергии по сравнению с аддитивной. Этот же результат полу чается и в другом предельном случае ts3>1. Полученные выра жения должны возникать при разложении общих формул для /?о(Гч) и £()(/■«), справедливых для всех значений г*. Эти выра
жения не получены. Для промежуточных значений rs необходи мо вычисление па ЭВМ, которое не проделано.
Вычисление энергии основного состояния при промежуточных значениях гя представляет большой интерес. Помимо исследо вания энергии связи электронов в металлах можно, по-видимо му, при надлежащей точности вычисления исследовать фазовые переходы, наличие которых не вызывает сомнений. Один из этих переходов ясен физически: при уменьшении г„ из обла сти rs^>l происходит разрушение вигнеровского электронного кристалла, что соответствует фазовому переходу первого рода. Возможен фазовый переход электронная жидкость—электрон ный газ. Формально существование таких фазовых переходов в промежуточной области rs следует из нарушения симметрии вектора состояний системы многих частиц при переходе от слу чая rs<g. 1 к случаю rs^> 1.
Рассмотренный подход является достаточно общим. Очень важно обобщение задачи па случай конечных температур, что позволило бы изучить «настоящие», т. е. температурные фазо вые переходы, исследовать спектр элементарных возбуждений, а также получить уравнение состояния плазмы во всей обла сти по плотности частиц.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бракнер К. Теория ядерной материи. (Некоторые вопросы теории мно гих тел.) Пер. с англ. М., «Мир», 1964.
2.Кудрин Л. П., Левин Ю. Л. Об одном подходе в задаче многих тел без малого параметра. Препринт ИАЭ-1211, 1966.
3.Lowdin Р. О. Phys. Rev., 1965, v. 139А, р. 357,
Г л а в а о д и н н а д ц а т а я
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КУЛОНОВСКИХ СИСТЕМ
ВПРОБЛЕМЕ МНОГИХ ТЕЛ
§30. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ И ОЦЕНКИ ДЛЯ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ
Внекоторых работах ставится вопрос, устойчива ли кван
товомеханическая система электрически заряженных точек? За метим, что речь идет именно о квантовомеханической системе,
поскольку в классическом случае, |
согласно теореме Ирншоу, |
существует утверждение об |
абсолютной неустойчивости |
куло |
новской системы. |
или |
с т а б и л ь н о с т ь ю , |
пони |
Под у с т о й ч и в о с т ь ю , |
мают существование нижней границы полной энергии системы, пропорциональной полному числу частиц. Вопрос, почему веще ство устойчиво, находится в поле зрения физиков со времени открытия Резерфорда, который заявил, что вещество состоит из положительных и отрицательных частиц, взаимодействующих по закону Кулона. Становление квантовой механики, как изве стно, было тесно связано с этим вопросом. Так, планковское квантование энергии для излучения осциллятора и боровское квантование атомных орбит приводит к тому, что энергия не «опускается» на бесконечно глубокое дно. Поэтому условия квантования являются также условиями стабильности системы.
В 1925 г. квантовая механика дала количественный ответ па вопрос об устойчивости атома. Было показано, что атом с зарядом ядра Ze и Z электронами не может обладать энергией, меньшей — Z2Ry(Ry = me4/2S2), причем ридбергRyсоставляется из фундаментальных физических констант т, е и К. Это решает проблему стабильности отдельного атома.
Макроскопический образец вещества состоит из очень боль шого числа отрицательно и положительно заряженных частиц, взаимодействующих по Кулону, и это приводит к чрезвычайно большому многообразию явлений, таких4 как химическая связь, существование металла (связь частйц в металле), силы Ван-дер-Ваальса, сверхпроводимость, сверхтекучесть и даже биологические явления. Поэтому проблема устойчивости макро скопической системы непроста. Хотелось бы понять, каким об разом системы, обладающие столь большим количеством раз нообразных эффектов, все-таки имеют одно общее фундамен тальное свойство, которое можно назвать с в о й с т в о м насы-
