Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Гл а в а т р и н а д ц а т а я

ОЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ

ВТЕРМОДИНАМИКЕ ПЛАЗМЫ

§ 34. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Бурное развитие вычислительной техники открывает новые, практически неисчерпаемые возможности исследования, в ча­ стности и кулоновских систем. Использование ЭВМ позволяет изучать, например, термодинамику плазмы в условиях, когда характерные физические параметры отнюдь не малы. Как не­ однократно отмечалось, область безразмерных параметров, близких к единице, относится, как правило, к реальному со­ стоянию вещества, будь это неидеальный газ, жидкость или твердое тело. Поэтому численные методы чрезвычайно перспек­ тивны для получения конструктивных результатов. Численные методы в термодинамике развиваются в двух направлениях. Первое — численное решение уже сформулированных уравне­ ний, например решение уравнений типа уравнения Дайсона для функции Грина. На современном уровне численно интегри­ руется и трехмерное уравнение Шредингера, задающее харак­ тер движения частиц.

Другое направление использует известные законы элемен­ тарных актов взаимодействия частиц, например кулоновского взаимодействия заряженных частиц на не слишком малых взаимных расстояниях и случайного распределения частиц до взаимодействия по импульсу, координате и т. д. Прослеживая «судьбу» большого числа частиц, можно получить с точностью, определяемой статистикой, характерные макроскопические свойства системы. Этот метод получил название метода МонтеКарло и распространен в настоящее время достаточно широко.

Метод Монте-Карло интенсивно используется также при вычислении многократных интегралов. При этом вместо обыч­ ного интегрирования по регулярному множеству точек осу­ ществляется интегрирование по случайному их набору при не­ которых специальных правилах отбора этих точек. В статисти­ ческой физике подобным методом вычисляются конфигурацион­ ные интегралы системы, задаваемые статистикой Гиббса. При­ меры такого вычисления обсудим ниже. Метод Монте-Карло представляет собой способ вычисления, в котором вводятся спе­ циальные вероятностные элементы в противоположность класси­ ческой технике расчета, состоящей в последовательном осуще-

345

ствлении полностью детерминированных алгебраических опера­ ций. Существуют, кроме того, попытки получить точные значе­ ния энергии системы многих частиц «в обход статистики», т. е. с помощью решения совокупности уравнений движения, число которых совпадает с числом частиц.

Численные методы имеют смысл не только для получения конкретного результата в данной задаче. Задач — бесчисленное множество и было бы нерациональным решать каждую из них па ЭВМ. Важно, что численное решение характерных задач облегчает аналитическое исследование, приводящее к серьез­ ным обобщениям. Иногда численное решение позволяет обна­ ружить качественные закономерности, которые трудно предви­ деть априори, например найти новые характерные малые пара­ метры задачи. В этом случае, как правило, вступает в силу мощный инструмент физика-теоретика — метод аналогий.

В природе существует много, казалось бы на первый взгляд, качественно различных явлений, которые, однако, опи­ сываются однотипной (или просто одинаковой) системой урав­ нений. Поэтому обнаружение нового малого параметра в одной из задач позволяет понять явление, относящееся к другой об­ ласти физики и быстро получить аналитическое решение пу­ тем разложения по однотипному параметру. Расчеты на ЭВМ позволяют, кроме того, установить область применимости раз­ личных приближенных аналитических методов. Часто бывает так, что аналитический критерий применимости «затягивается», т. е. решение является еще достаточно корректным в области, где, согласно буквенному критерию, этого не должно быть. Примером может служить так называемое борцовское прибли­ жение, широко используемое в задачах рассеяния частиц. Применимость этого приближения заметно «затягивается» в область относительно малых скоростей сталкивающихся ча­ стиц.

Разумеется, численное решение не нужно фетишизировать, полагаясь лишь на него. Необходимо подчеркнуть, что работа на ЭВМ должна сочетаться с глубокой работой аналитика. Прежде чем приступать к численному исследованию, необходи­ мо правильно поставить задачу, выбрать наилучшую из воз­ можных моделей, базирующихся на современных представле­ ниях. Этим в основном определяется ценность полученного численного результата. Не следует забывать также, что ЭВМ отнюдь не «все может», ибо закладываемая в нее информация неизбежно ограничена уровнем наших знаний. Если, например, нет достоверных данных о силах взаимодействия частиц, что имеет место в ядерной физике, то нельзя питать больших на­ дежд на численные расчеты. Не следует, во всяком случае, проводить «чрезвычайно точные вычисления», превышающие точность заложенной в машину исходной информации. Правда, часто оказывается полезным так называемый м а т е м а т и ч е -

346

с к и й э к с п е р и м е н т , когда в машину закладываются весь­ ма различные предположения, например о взаимодействии ча­ стиц, и исследуется реакция системы на эти различные пред­ положения. Разумные предположения соответствуют разумной

реакции и эксперименту.

Существуют, однако, системы, в которых микроскопический

и интересным результатам уже сегодня. Такое положение имеет место, например, в теории молекулярных соединений.

§ 35. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

Обсудим использование метода Монте-Карло в задачах ста­ тистической физики, и термодинамики плазмы в частности [8]. Совершенно ясно, что метод, дающий возможность непосредст­ венно вычислять конфигурационный интеграл ZN (или стати­ стическую сумму) системы многих частиц, если это можно сде­ лать достаточно точно, является идеальным методом по срав­ нению с приближенными методами расчета, предполагающими

или в аналогичных интегральных выражениях, определяющих средние значения функций от координат по ансамблю

прямого интегрирования на усреднение по множеству случай­ ных событий (или конфигураций системы). При этом события (или конфигурации) образует цепь Маркова с постоянными вероятностями переходов р ц > 0*. Конфигурационное прост­ ранство изучаемой системы подразделяется на некоторое до­ статочно большое число В одинаковых ячеек, которые нуме­ руются произвольным образом.

* Немногие необходимые сведения из теории однородных цепей Маркова можно получить в любом учебнике по теории вероятностен (см., напри- «ер, [7]).

347

Соотношения (35.1) и (35.2) записаны для канонического ансамбля частиц. Однако, как это впервые отметил Чезант [10], метод Монте-Карло, построенный для большого канониче­ ского ансамбля, обладает большими возможностями. Это не­ сколько подробнее будет рассмотрено ниже, а пока обсудим параллельно как случай канонического, так и случай большого

канонического ансамбля. В последнем случае вместо (35.2) следует писать

Величина Aj характеризует состояние системы N частиц при определенном их распределении по ячейкам (т. е. определенную их конфигурацию). Метод Монте-Карло позволяет рассматри­ вать совокупность всех возможных Л; как набор значений слу­ чайной дискретной величины, распределенной с вероятностью

Проводя достаточно большое число испытаний М, можнообразовать совокупность Ль Л2, ..., Ам и вычислить последо­ вательность значений F(A\), К(Л2), ..., F(AM). Тогда, соглас­ но известному закону больших чисел [7],

м

!=\

Отметим, что в случае рассмотрения большого каноническо­ го ансамбля состояния Aj отличаются друг от друга не только конфигурациями, но и числом частиц.

Совокупность состояний Л], Л2, ..., Ам, отвечающую задан­ ному распределению (35.4), получают построением соответст­ вующих цепей Маркова (ЦМ). Совокупность случайных собы­ тий Aj образует ЦМ с постоянными вероятностями переходов

348