Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

венные заключения [8]. Так, для второго и третьего вириальпых коэффициентов можно написать

BN = (1 — N->); CN =-■Coo (1 + 0.2ЛГ1— 1,2N~*),

где индексы оо и N относятся соответственно к неограничен­ ной системе и к системе, построенной с помощью периодиче­ ских граничных условий; N — число частиц в ячейке МонтеКарло.

При введении периодических граничных условий во многих работах допускается принципиальная ошибка, состоящая в следующем. Как правило, пренебрегают влиянием граничных

в связи с граничными условиями, вводя некоторый эффектив­ ный потенциал взаимодействия. Как это следует делать, рас­ смотрим ниже, а сейчас отметим лишь, что при небольшом числе частиц в ячейке Монте-Карло такое переопределение по­ тенциала взаимодействия существенно.

Невозможность построения бесконечно протяженной ЦМ приводит иногда еще к одной серьезной трудности. Реальной в процессе реализации метода Монте-Карло может быть воз­ можность, когда в конфигурационном пространстве интересую­ щей нас системы возникают две (или большее число) области, вносящие сравнимые вклады в полный конфигурационный ин­ теграл, по такие, что вероятности переходов между ними край­ не малы. Между тем вклад этих переходов часто существен при исследовании конкретных явлений, например фазовых превращений в системе. Неучет переходов между состояниями, принадлежащими к одному и тому же эргодическому классу, может привести к ложным результатам. Указанная трудность наиболее вероятна, однако, при изучении достаточно плотных систем и конденсированных состояний. Наиболее прямой путь для устранения этой трудности состоит в удлинении ЦМ на­ сколько это возможно. Кроме того, практической проверкой может служить варьирование в некоторых пределах началь­ ного состояния цепи, построение различных ЦМ и т. д.

Практическая реализация метода Монте-Карло достаточно подробно описана в имеющейся специальной литературе (мно­ гочисленные ссылки содержатся в монографии [8]). Некоторые особенности техники расчета мы обсудим при рассмотрении от­ дельных задач несколько ниже и покажем, что уже на совре­ менном уровне вычислительных возможностей метод МонтеКарло приводит к интересным результатам. При достаточно точной реализации этого метода получаемый физический ре­ зультат свободен от многих неточностей, свойственных грубым модельным представлениям и приближенным уравнениям, и, в принципе, не содержит никаких погрешностей, кроме неиз­

бежных статистических. Этим можно еще раз подчеркнуть пер­

ное распределение для построения контрольных цепей. Сначала

— ас] / 2 — объем, приходящийся на частицу в системе предель­ но плотной упаковки твердых шариков. На этом же рисунке приведены результаты динамического расчета [8].

Интересно, что метод Монте-Карло даже при небольшой статистике (32 частицы в основной ячейке) приводит к более

354

точным результатам, чем теория свободного объема и суперпозиционное приближение в теории жидкости. Пятичленное урав­ нение состояния (пять членов вириального ряда для давления) оказывается более точным по сравнению с приближением сво­ бодного объема и суперпозиционным.

Наиболее интересным результатом расчета является обна­ ружение двух ветвей изотермы с разрывом, свидетельствующим о наличии в системе фазового перехода. Исследование корре­ ляционных функций (радиальных функций распределения) по обе стороны области перехода позволяет заключить, что фазо­ вый переход соответствует превращению газ — кристалл. За­ мечательно, что обнаружить это явление удалось лишь с по­ мощью метода Монте-Карло и что ни одна из указанных выше теорий (кроме суперпозиционного приближения) не позволяет обнаружить фазовый переход.

Расчет позволяет сделать заключение, что переход между упорядоченной и неупорядоченной фазами является характер­ ным фазовым переходом первого рода: на рисунке явно видны «перегретые» и «переохлажденные» состояния. Очевидно, что поскольку в рассматриваемой системе взаимодействие частицшариков отсутствует, то связанная с фазовым превращением скрытая теплота имеет чисто энтропийное происхождение. Следовало бы ожидать появление горизонтального участка изотермы давления в области фазового перехода. Расчет не дает этого участка ввиду очень медленной сходимости ЦМ вблизи фазового перехода. Причина этого явления была об­

суждена выше.

Рассмотренная задача имеет, конечно, сугубо модельный смысл. Более интересны имеющиеся расчеты, связанные с изучением реальных систем, поскольку в этом случае возмож­ но сравнение с экспериментом. Так, в работе [5] метод МонтеКарло для большого канонического ансамбля был использован для исследования фазового перехода жидкость — пар в реаль­ ном аргоне.

Потенциал взаимодействия атомов аргона достаточно хоро­ шо известен и с хорошей точностью описывается кривой Ленарда — Джонса. Методом Монте-Карло была вычислена за­ висимость средней плотности частиц п от химического потен­ циала при постоянной температуре Т < Т кр. В области превра­ щения пар — жидкость обнаружен характерный скачок функ­ ции п(ц), причем эта область соответствует экспериментально исследованной области фазового перехода. Изучение однород­ ной системы путем построения изотермы /г(р) (т. е. исследова­ ние однородных состояний в большом каноническом ансамбле) позволило ограничиться малым числом частиц (~30) в основ­ ной ячейке. При построении ЦМ единичный переход (шаг) Ai->-Aj осуществлялся с постоянной вероятностью рц измене­ нием числа частиц в ячейке Монте-Карло на единицу при

12' 355

фиксированном положении остальных частиц. Далее вычисля­ лась полная потенциальная энергия каждого из состояний £/jv(qi, q2, • • qjv) как сумма потенциальных энергий парного взаимодействия атомов аргона. Вероятности перехода опреде­ лялись таким образом, чтобы для построения ЦМ достаточно

(~ 1 0 4 шагов) выходит на стационарный участок. Равновесные значения п и производной дп/дц определялись усреднением по стационарному участку ЦМ. В результате расчета выявлен ха­ рактерный для фазового перехода скачок в поведении изотер­ мы плотности частиц. Отметим, что непрерывный ход изотер­ мы, предсказываемый уравнением Ван-дер-Ваальса, не имеет места в данном расчете: производная дп/д\1 всюду положи­ тельна. Это свидетельствует о том, что метод Монте-Карло в указанной выше постановке не описывает метастабильных со­ стояний системы.

Попытки численного исследования предпринимались и в термодинамике плазмы. При этом наиболее интересной об­ ластью исследования является умеренно плотная н плотная плазма. Метод Монте-Карло был использован в работах [2, 6] для изучения термодинамических свойств системы твердых за­ ряженных шариков. Эти работы, безусловно интересные в методическом смысле, вряд ли могут быть ценными при полу­ чении конструктивных результатов в теории плотной плазмы

тов становится существенным.

Методом Монте-Карло была также исследована однокомпонептпая плазма в широкой области параметров, правда при небольшой статистике (относительно малое число частиц в системе). Ввиду важности этой задачи обсудим ее подробно.

§ 36. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ ПЛАЗМЫ

Рассмотрим систему ионов на фоне компенсирующего заря­ да, находящуюся в состоянии термодинамического равновесия. Изучим систему в широкой области параметров, описывающих как газовое состояние системы, так и жидкое, проследив воз­ можность фазового перехода жидкость — твердое т^ло в рас­ сматриваемой модели.

356

Выберем в качестве единицы длины среднее расстояние меж­ ду ионами

параметр взаимодействия, характеризующий отношение ампли­ туды рассеяния / к среднему расстоянию между ионами.

Рассматриваемая модель весьма близка к действительности в следующих случаях. При очень высоких давлениях и низких температурах вещество ионизовано силами давления и вырож­ денные электроны обладают достаточной кинетической энергией, чтобы образовать почти однородное распределение. С другой стороны, при умеренных плотностях и высоких температурах си­ стема ионизована под действием теплового движения. И в этом случае электроны способны распределиться по объему почти равномерно. Можно ожидать, что описываемая модель с равно­ мерным зарядовым фоном является неплохим приближением к описанию жидких металлов типа натрия. В этом случае валент­ ные электроны образуют почти однородный фон, а остов атома (подобный неону) можно приближенно рассматривать как то­

чечный заряд.

Ввиду дальнодействующего характера кулоновских сил необ­ ходимо учитывать взаимодействие частиц не только внутри вы­ деленной ячейки, но и находящихся в разных ячейках, или же так переопределить парное взаимодействие, чтобы свести задачу к рассмотрению одной ячейки. Это можно сделать, вообще гово­ ря, двумя способами, соответствующими двум моделям. В пер­ вой предполагается, что частица, находящаяся в данной ячейке, может взаимодействовать лишь с каждой из (N—1) частиц, на­ ходящихся в этой же ячейке, или с ближайшей конфигурацией частиц в одной из соседних ячеек. Рассматриваемая в данный момент частица как бы помещается в центре ячейки кубиче­ ской формы. Компенсирующий фон не принимается во внимание

вэтом методе.

Вдругом подходе используется более реальное представле­

ние, учитывающее взаимодействие с фоном и с частицами сосед­ них ячеек, но, конечно, упрощенное, ибо прямое решение такой задачи потребует слишком большого машинного времени. Упро­ щение состоит в вычислении ячеичных сумм, введенных Эваль­ дом [9]. Это упрощение сводится результативно к переопределе­

357