Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

стота каждой конфигурации пропорциональна больцмановскому фактору.

Можно, конечно, использовать метод Монте-Карло, выби­ рая случайные конфигурации вместо звеньев ЦМ, и затем взве­

стижения одного и того же равновесного значения энергии необ­ ходимо перебрать около 5000 конфигураций. На рис. 44 демон­ стрируется такое приближение к равновесию в системе с т) = 10,0.

Выпишем теперь термодинамические величины в том виде, в каком их удобно вычислять, используя ранее введенные харак­ теристики. Поскольку рассматриваемая модель является клас­ сической, бинарная корреляционная функция имеет вид

где конфигурационный интеграл записывается в обычной форме (канонический ансамбль):

36 2

Соответственно полная энергия системы на частицу имеет вид

< Е > № = (3/2) + « £ / > p/N).

Давление также можно выразить через g(r):

В рассматриваемой кулоновской системе необходимо исклю­ чить вклад в термодинамические функции, обусловленный фо­ ном. Поэтому из g(r) необходимо вычесть единицу. В случае ку­ лоновского потенциала взаимодействия на основании вириальной теоремы можно написать дополнительное соотношение

висит лишь от комбинации температуры и плотности частиц, оп­ ределяемой параметром т), и не зависит отдельно от темпера­ туры и плотности. Поэтому, в частности, теплоемкость системы

В таком виде удобно вычислять теплоемкость в схеме расчета методом Монте-Карло. Выпишем еще выражение для свободной энергии системы в виде, удобном для вычислений:

стемы.

Расчет ио схеме, изложенной выше, был выполнен Брашем, Салином и Теллером [9], которым удалось описать в методе Монте-Карло системы, содержащие 32, 64 и 108 частиц. При этом были получены интересные результаты для бинарной функ­ ции корреляции и термодинамических свойств системы в рас­ сматриваемой модели. Эти результаты вкратце и обсудим здесь. Бинарная функция корреляции g(x) была вычислена для значе­

г)=^2,0. При г|^0,05 полученные расчетные кривые хорошо опи­ сываются зависимостью для g(x), полученной в дебаевском при­ ближении для классической слабонеидеальной плазмы. При г \ ^ 2 происходит качественное изменение кривых, демонстри­ рующее появление ближнего кристаллического порядка. В обла­

363

сти г] — 100 jg"(а:) подобна радиальной функции распределения для обычной жидкости, такой, например, как жидкий аргон.

Вычисление показывает, что использование потенциала пар­ ного взаимодействия в данной модели является правильным при г)>16. Оказывается, что расчет мало чувствителен к числу проб-

Рис. 46. Зависимость потенциальной энергии («а части­ цу) от числа конфигураций 32-частичной системы при г)= 126:

ных частиц, содержащихся в системе. Например, при л —75 кри­ вые для g(x) при N = 32, 108 и 256 практически совпадают, что дает хотя и не вполне однозначное, но важное указание на то, что потенциал Эвальда (см. рис. 43) хорошо описывает систе­ му, даже если статистика расчета не очень велика. На рис. 46 демонстрируется наличие фазового перехода первого рода твер­

364

дое вещество — жидкость. Нижняя цепочка возникает из на­ чальной конфигурации частиц, упорядоченных в решетку. Эта цепочка достигает равновесного значения энергии, превышающе­ го на 1,5 ЦТ энергию идеальной решетки. Можно ожидать, что эта цепочка описывает поведение идеального твердого тела, представленного набором гармонических осцилляторов, поэтому

она классифицируется как твердотельная ветвь. Верхняя цепоч­ ка описывает состояние системы, которое вначале было задано случайной конфигурацией. Она достигает равновесия (жидкост­ ная ветвь) при энергии, превышающей энергию твердотельной ветви примерно на (3/4)Ш. Через 30 000 конфигураций система испытывает фазовое превращение, переходя на твердотельную ветвь, где она и остается по крайней мере в течение 50 000 кон­ фигураций. Затем система снова возвращается на жидкостную ветвь.

Небольшая статистика (малое N) не позволяет хорошо про­ следить детали фазового перехода, однако и для N = 32 скачок, характерный для фазового перехода, имеет место. Расчет пока­ зывает, что для г] = 126 жидкостная ветвь является наиболее устойчивой. На рис. 47 представлены бинарные функции корре­ ляции для твердотельной и жидкостной ветвей при г)=126.

365

Интересны результаты, полученные для термодинамических функций рассматриваемой системы. Зависимость теплоемкости (точнее, Cv/NTi—3/2) от т] представлена на рис. 48. Ввиду ма­ лой статистики расчета погрешность Cv при больших г| состав­ ляет 10—20%. На рис. 49 приведена зависимость свободной энергии системы от параметра г). В работе [9] приведены также таблицы для давления. При изучении этих таблиц следует иметь в виду, что рассматриваемая модель приводит к отрицательным значениям Р при ri/>4,0. Чтобы получить полное давление, необ-

ходимо добавить к этим значениям давление идеального элект­ ронного ферми-газа, образующего зарядовый фон в рассматри­ ваемой модели. Это давление достаточно велико, чтобы полное давление системы было бы положительным.

Рассматриваемая модель в определенных термодинамических условиях описывает (разумеется, в известном приближении) свойства реального вещества. Можно проследить такое сопостав­ ление на примере 56Fe. На рис. 50 представлена зависимость \g(n/n0) от lg£7\ где п0— плотность вещества при нормальных температуре и давлении. На рис. 50 обозначены линии постоян­ ных значений параметра тр а также заштрихованы области тем­ ператур и плотностей, где модель ионной системы на фоне од­ нородного компенсирующего заряда является удовлетворитель­ ным приближением для описания реального состояния вещества.

366

Модель лучше всего описывает полностью ионизованную систе­ му, в которой ионы ведут себя классически. Кинетическая энер­ гия электронов в такой системе должна быть много больше по­ тенциальной энергии взаимодействия ион — электрон, так что электроны распределяются по объему системы практически неза­ висимо от ионов, образуя однородный фон.

Необходимо ограничиться областью таких температур и дав­ лений, чтобы исключить возможность химических реакций, кото­

в работе [9] вычисление выполнено в рамках классической меха­ ники, необходимо указать условия, при которых квантовые по­ правки па неидеалыюсть системы невелики. Так, линия 4 харак­ теризует условия, при которых квантовая статистика вносит поправку, не превышающую 1 0 % . Линия 5 соответствует р ~ 1 0 2. При этом значении параметра можно ожидать переход системы в твердое состояние.

Условия, при которых уравнение состояния электронного га­ за отличается не более чем на 10% от уравнения состояния вы­ рожденного идеального ферми-газа, характеризуются ломаной линией 6. Излом при больших п соответствует вырождению ре­ лятивистских электронов. Выше линии 7 можно считать распре­ деления электронов и ионов однородными. Наконец, необходи­ мо исключить область очень высоких температур (%7'>103 кэв), поскольку возможность образования пар не предусмотрена тео­ рией (линия S).

367