Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

нию потенциала парного взаимодействия. Степень обоснованно­ сти обоих методов обсудим несколько ниже.

Начнем с определения потенциальной энергии в методе Эваль­ да. Потенциал Ф(г), обусловленный распределением заряда, яв­ ляется решением уравнения Пуассона

Поскольку зарядовый фон однороден во всем пространстве, можно предположить, что он не вносит ничего, кроме некоторой постоянной (хотя, быть может, и бесконечной) в потенциальную энергию. Иными словами, фон не вносит изменения в зависи­ мость Ф(г). Однако это противоречит формально уравнению (36.3), поскольку добавление константы в правую часть этого уравнения приведет к изменению Ф(г).

Природу эффекта, обусловленного фоном, можно понять, представив себе регулярный бесконечный ряд точечных зарядов, расположенных на компенсирующем фоне, и вычисляя изменение энергии такой системы, обусловленное' малым смещением одного из зарядов из положения равновесия. Взаимодействие между зарядами представляет собой кулоновское отталкивание. Если разложить энергию по смещению, то легко обнаружить, что ко­ эффициент при квадратичном по смещению члене обращается в нуль для каждой ячейки. Если при смещении одного из ионов другие фиксированы, возвращающие силы, действующие на ион, пропорциональны не смещению, а третьей степени смещения. Более того, такая система неустойчива, если не принимать во внимание периодические граничные условия, которые восстанав­ ливают однородное распределение плотности в каждой ячейке. Добавление фона приводит к иной природе стабилизации си­ стемы.

Представим себе, что бесконечный фон разделен перегород­ ками на кубы, в центрах которых находятся точечные положи­ тельные заряды. Если одна из частиц смещается из своего положения, возникают возвращающие силы, стремящиеся вос­ становить однородность системы в своей собственной ячейке. Если заменить кубическую ячейку сферической, то отношение квадратичного по смещению потенциала возвращающих сил к Ш равно у\х212. Чтобы определить потенциал парного взаимо­ действия, учитывающий фон и периодические граничные усло­ вия, необходимо найти периодическое решение уравнения (36.3) в случае, когда распределение плотности заряда в выделенной ячейке объема V имеет вид:

где N / V — плотность «фоновых частиц».

3 6 8

Разложим Ф(г) и п(г) в ряды Фурье:

я (г) == -Jr2 nkexp(ikr)’

к

где к= 2лпЩ L — размер ребра куба ячейки; п — целые числа. Тогда

/=1 к

где при суммировании по к исключен член с к= 0. Этот факт отражает электрононейтральность системы. Следовательно, для Ф(г) можно получить выражение вида

1 к

Это выражение вполне корректно для периодической системы за­ рядов на однородном фоне зарядов другого знака.

Чтобы получить полную потенциальную энергию системы, не­ обходимо оценить следующее выражение:

U = -|- f п(г)Ф (г) dr ~ Zc2 У ] [ - dr. (36.7)

Второй член справа компенсирует собственную энергию ионов,

Выражение (36.8) представляет собой искомый потенциал парного взаимодействия для системы ионов на компенсирующем фоне. Этот потенциал может быть представлен в виде, сущест­ венно более удобном для проведения численных расчетов, если воспользоваться приемом вычисления сумм Маделунга, предло­ женным Эвальдом. Потенциал Эвальда имеет вид

359

i=j=\

Эта формула не представляет, однако, полную потенциальную энергию системы, поскольку сюда не входит член U0 (36.9). Вы­ ражение для U q, с п о м о щ ь ю формул (36.8) и (36.9) может быть сведено к следующему:

где Ет — энергия Маделунга простого кубического кристалла с постоянной решетки L. Если добавить к р£/0 выражение для (Ш (36.13), то энергия на частицу для конечной системы станет

3 6 0

равной (*/г)Дт для бесконечной системы при условии, что ко­ нечная система упорядочена и представляет собой правильную решетку. Для простой кубической решетки Д,яр—— (^Аш) ii X X2,8373. Для объемноцентрированной решетки эта величина несколько меньше. При низких температурах объемноцентрпрованная решетка представляет собой наиболее устойчивую форму твердого тела. Для конечных температур эта разница несущест­ венна, и можно пользоваться при расчете простейшим видом ре­ шетки.

Схема расчета в методе Монте-Карло, используемом здесь, вкратце состоит в следующем. Сначала выбирается конфигура­ ция системы, т. е. фиксируется положение N частиц в основной ячейке. Вообще говоря, нет необходимости фиксировать скоро­ сти частиц, поскольку интегрирование по скорости можно про­ вести точно в дальнейшем. Можно использовать любые разум­ ные начальные конфигурации. Например, можно расположить частицы случайным образом или упорядоченным в регулярной решетке. Затем на ЭВМ вычисляют потенциальную энергию этой конфигурации по формуле (36.13). Далее ЭВМ «перебирает» ча­ стицы от 1 до N, нумеруя их, и задает движение «пробной» ча­ стицы, которая испытывает смещение от —А до +А. Это сме­ щение задается случайным образом с помощью полученных спе­ циально для этой цели таблиц случайных чисел. Для достаточ­ но длинных цепей Маркова, описывающих «блуждание» части­ цы, результат не должен зависеть от А. Потом ЭВМ «решает», как поступить дальше с пробной частицей. Это осуществляется с помощью задания системы вероятностей переходов, зависящих от разности энергий предыдущей и новой конфигурации системы. Вероятности могут быть выбраны так, чтобы предельная «ча­ стота» последовательных конфигураций, по мере того как дли­ на ДМ стремится к бесконечности, была бы пропорциональна больцмановскому фактору.

Это требование не является, конечно, единственным спосо­ бом выбора указанных вероятностей. Можно определить их и иначе; вопрос заключается лишь в том, чтобы число конфигура­ ций, приближающихся к искомой, было не очень большим ввиду ограниченности машинного времени. При вычислении можно ру­ ководствоваться правилом: пробное движение выбирать так, что­ бы оно приводило к уменьшению потенциальной энергии систе­ мы. Если пробное движение приводит к увеличению АД, то вво­ дят вероятность (вес) ехр(—рАД). Если движение пробной ча­ стицы приводит к ее выходу из ячейки, то вычисление повто­ ряют снова, начиная со старой конфигурации. Использование марковской цепи конфигураций, построенных таким образом, позволяет получить среднее значение любой величины, характер­ ной для данной системы, просто с помощью усреднения по всем членам (звеньям) цепи. Результат при этом эквивалентен усред­ нению по каноническому ансамблю, поскольку предельная ча­

361