Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Рассматриваемая работа представляет большой интерес для качественного изучения термодинамики плазмы и демонстри­ рует перспективность метода Монте-Карло в подобных иссле­ дованиях. Однако этот расчет вряд ли может дать количествен­ ные результаты не только потому, что сама постановка задачи предполагает довольно грубые модельные представления, по и потому, что попытка классического описания конденсированных систем и плотных газов принципиально несостоятельна. В усло­ виях, когда дебройлевская длина волны сравнима со средним расстоянием между частицами, поведение системы следует опи­ сывать квантовомеханическимн законами движения.

Необходимость квантовомеханического подхода в термоди­ намике плотной плазмы диктуется также соображениями устой­ чивости системы. Неоднократно подчеркивалось, что в плотной плазме квантовые эффекты обеспечивают термодинамическую устойчивость системы, поскольку они устраняют трудности клас­ сической теории, связанные с описанием движения частиц на малых взаимных расстояниях.

Оказывается, что в определенных условиях статистическую сумму квантовомеханической кулоновской системы можно све­ сти к конфигурационному интегралу [1]. Физически это соответ­ ствует подмене реального движения частиц движением в неко­ тором эффективном потенциале, что, совершенно очевидно, мож­ но сделать не всегда, ибо такое представление является сугубо модельным. Этого нельзя сделать, например, если на малых рас­ стояниях существенно взаимодействие (одновременно) трех и большего числа частиц. В довольно широкой области термодина­ мических условий, когда система частиц еще далека от вырожде­ ния и когда длина волны к сравнима со средним расстоянием между частицами (но немного больше этого расстояния), при­ ближение парности столкновений является разумным и вклад трехчастичного взаимодействия невелик. Тогда можно построить эффективный потенциал парного взаимодействия, такой, что при г^$> к он совпадает с кулоновским, а па малых расстояниях со­ ответствует квантовомеханическому решению для относительного движения двух частиц. При описании движения разпозаряженных частиц на малых расстояниях такой потенциал должен яв­ ляться потенциалом отталкивания.

Наиболее естественно ввести эффективный потенциал взаи­ модействия двух частиц сортов а и Ь, определив квантовомеха­ ническую плотность вероятности обнаружения этих частиц на расстоянии г друг от друга и приравняв эту корреляционную

368

где Е а и г]) а— соответственно энергия и волновая функция от­

Теперь легко записать и статистическую сумму рассматри­ ваемой системы, содержащей в объеме V Ne электронов и N{ ионов:

В простейшем случае водородной плазмы N e — N i = N / 2 . Эффек­ тивный потенциал является функцией не только координат, но и температуры. Существенно, что в предложенной модели ста­ тистическая сумма сведена к виду классического конфигураци­ онного интеграла, что позволяет при вычислении воспользо­ ваться методом Монте-Карло, хорошо разработанным в приме­ нении к классическим системам частиц. Зная ZN, можно найти любые термодинамические величины и выразить их непосредст­ венно через Ф„ь. Так, энергия системы равна

p£(qb q2, . . . , q„; Р) ^ ~ N ' ■Р 3 2 [фв»(г<у,Р) + a, b\ i<j

о'Фа&(г,у, Р)

Рар

Указанная постановка задачи является строгой в следующем отношении. Предполагается, что система является кулоновской: она состоит из электронов и ионов, т. е. такая постановка ис­ ключает необходимость введения атомов. Атомы возникают в си­ стеме «автоматически» при сближении разноименных зарядов. Это избавляет от введения взаимодействия заряд— атом и свя­ занных с этим приближений. Однако следует помнить, что пред­ положение о парности взаимодействия исключает возможность образования молекул, молекулярных ионов и отрицательных ионов водорода. Поэтому решение имеет смысл в таких усло­ виях, когда образование этих комплексов маловероятно.

На больших расстояниях Фаг, переходит в кулоновский по­ тенциал и не зависит от р, а на малых при г->0 стремится к ко­ нечному значению. Так, для взаимодействия электрон — ион

явно демонстрирует тот факт, что квантовые эффекты приводят к отталкиванию электрона и иона на малых расстояниях.

369

Здесь па и «г — плотности атомов и ионов соответственно. Пред­ варительная оценка ионизационного равновесия по формуле Саха показывает, что в первом случае плазма практически пол­ ностью ионизована, а во втором степень ионизации крайне ма­ ла и водородная плазма является в рассматриваемых условиях практически идеальным газом водородных атомов.

Построение ЦМ и в том, и в другом случае начиналось с за­ дания произвольной (случайной) конфигурации электронов и ионов. Оказалось, что при выходе ЦМ на стационарный участок

распределение электронов и ионов по объему в первом случае приближалось к равномерному, а во втором электроны и ионы сближались, образуя атомы. К сожалению, удалось построить

= 30-у40. Поэтому точность расчета невелика и вряд ли можно делать на основании такого вычисления количественные выводы достаточно уверенно, тем более что и погрешность расчета труд­ но оценить однозначно. Однако вычисление указывает на ряд интересных качественных явлений.

Так, в случае сильно неидеальной плазмы (г[)> 1) вычисле­ ние корреляционных функций позволяет проследить микрострук­ туру плазмы. На рис. 51 представлено распределение AN (г), характеризующее относительное расположение разноименных за­ рядов. Это распределение определяется следующим образом. Вокруг каждого иона выделяются шаровые слои толщиной Аг и подсчитывается число электронов в каждом слое. Значения, по­ лученные для всех ионов данной конфигурации, складываются, и сумма усредняется по всем конфигурациям стационарного уча­ стка ЦМ. В результате получается распределение АN (г) в виде

370

ступенчатой функции. Относительный ход AN (г) в непосредст­ венной близости иона передает распределение заряда в атоме водорода. Так, при г —0,5А наблюдается максимум, отвечаю­ щий основному состоянию атома, а при больших г ДN ( r ) ~ r 2.

Уже отмечалось, что в данной постановке задачи разделе­ ние электронов на свободные и связанные можно провести лишь условно. Однако с целью сравнения результата расчета степени ионизации методом Монте-Карло с результатами других при­ ближенных методов полезно сделать следующее. Будем прибли­ женно считать, что радиус электронного облака в атоме водо­

а величина <Ne> —< Na> определяет 10 ‘ L----------

качественно результат, полученный таким образом, является правильным. На рис. 52 представлены кривые па(пе) (изотер­ мы) в плотной плазме. Кривые 2 и 4 представляют разумное приближение лишь при ц -cl, а кривая 3 соответствует прибли­ жению Берлина и Монтролла для классической плазмы с силь­ ным взаимодействием.

Из рисунка видна важность кваптовомеханических поправок

3 7 1