модинамическом смысле, поскольку для нее (дпа/дпе) р <0. Ре зультат, полученный с помощью метода Монте-Карло, конечно, с оговорками о точности расчета, указывает на устойчивость рассматриваемой системы. Степень ионизации а в сильно неидеальной плазме, как показывает расчет, невелика при Г=104°К. Так, при т) = 1 а = 0,4; при ц=2 а ^ 0 ,2 . Следовательно, в рас сматриваемых условиях основной вклад в давление вносят ато мы и на фоне этой большой составляющей при данной точно сти расчета не удается обнаружить отклонение заряженной ком поненты плазмы от идеального состояния. Предсказываемое в ряде работ возможное расслоение плазмы на фазы при т]>1 в данном расчете также обнаружить не удалось.
В заключение обсудим кратко иной способ получения макро скопических характеристик системы с помощью изучения дви жения большого числа частиц, причем такое изучение предпо лагает построение траектории движения для каждой из частиц в отдельности. Идея указанного подхода может быть реализо вана альтернативно. Один из методов — метод Монте-Карло, приспособленный не для вычисления конфигурационных инте гралов, а для прослеживания «судьбы» каждой частицы данной системы. Если условия таковы, что элементарным актом взаи модействия частиц является парное столкновение, то последова тельность таких элементарных актов можно «разыграть» по Монте-Карло. Так, зная полное сечение столкновения и плот ность частиц-мишеней, можно разыграть значение свободного пробега частицы. Далее, зная соотношение дифференциальных сечений для отдельных каналов столкновения (рассеяние, погло щение, реакция и т. д,), можно разыграть судьбу частицы после столкновения. Если при этом «выпало» рассеяние, то, зная диф ференциальное сечение рассеяния, можно разыграть угол рас сеяния изучаемой частицы. И так для каждой из частиц си стемы.
Если рассеяние частиц изотропно, то отклонение частицы пос ле столкновения равновероятно и угол рассеяния выбирается случайным образом. Если же закон рассеяния таков, что после столкновения частицы должны рассеиваться преимущественно вперед, то в среднем на интервал малых углов должно выпадать большее число рассеяний. В этом случае вводится угловая кор реляция. Набор случайных чисел генерирует ЭВМ. Существуют также таблицы этих чисел, полученных разнообразными спо собами.
Расчеты такого типа известны уже достаточно давно. В каче стве примера можно указать на изучение методом Монте-Карло ядерных каскадов под действием пучка я-мезонов [3, 4]. Такой расчет (релятивистский случай) позволил объяснить ряд инте ресных экспериментальных особенностей. Наиболее перспекти вен указанный подход при изучении различных релаксационных процессов в системе многих частиц, при исследовании рассеяния
пучка частиц в веществе, и в частности в плазме. Метод МонтеКарло имеет большое будущее при изучении свойств плазмы в условиях, близких к равновесным, и вообще для исследования неравновесной термодинамики и кинетики плазмы. Такой расчет перспективен, конечно, и при изучении равновесной термодина мики плазмы.
Иной подход при численном изучении макроскопических свойств системы состоит в следующем. Можно отказаться от метода Монте-Карло вообще и поставить задачу о непосредст венном интегрировании уравнений движения для каждой из ча стиц в отдельности. Если бы имелась возможность интегриро вания огромного числа уравнений (порядка числа Авогадро),то можно было бы надеяться на получение здесь чрезвычайно точ ных результатов, ибо таким способом можно исключить неточно сти самой статистической физики. При этом нет необходимости вводить понятия ансамбля Гиббса, температуры, энтропии и т. д. Более того, можно проверить правомочность этих понятий при рассмотрении системы в тех или иных условиях. Результаты по добных расчетов для простейшего случая системы N твердых шариков, для которых удалось непосредственно проинтегриро вать классические уравнения движения, представлены в работе [11]. Эти результаты подтверждают выявленное методом МонтеКарло наличие фазового перехода типа плавление — кристалли зация.
Обсуждаемый метод называют иногда динамическим мето дом расчета. К сожалению, в литературе нет сведений о подоб ных вычислениях для систем кулоновских частиц. Между тем динамический расчет плотной плазмы позволил бы ответить на ряд принципиальных вопросов. Увеличение числа пробных ча стиц в основной ячейке позволило бы, в частности, ответить па вопрос о возможности расслоения плотной плазмы на фазы, или области с различной степенью ионизации и т. д.
В заключение отметим, что как вычисления методом МонтеКарло, так и динамические расчеты имеют большое будущее при изучении термодинамических свойств плотной плазмы. Работы в этом направлении неизбежно должны появиться в скором вре мени. Более точное, более реальное описание системы заряжен ных частиц должно сопровождаться, конечно, улучшением стати стики (т. е. увеличением числа рассматриваемых частиц N). Эти работы развиваются параллельно с дальнейшим совершенство ванием ЭВМ, открывающим новые вычислительные возможно сти.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
|
|
|
|
|
|
1. Воробьев В. |
С., Норман |
Г. |
Э., Филинов |
В. |
С. |
«Ж. эксперим. и |
теор. |
физ.», 1969, |
т. 57, с. 838. |
П., |
Ельяшевич |
А. |
М. |
«Электрохимия», |
1968, |
2. Воронцов-Вельяминов Н. |
т. 11, с. 1430. |
|
|
|
|
|
|
3.Кудрин Л. П., Никольский Б. А. «Докл. АН СССР», 1956, т. 111, с. 795.
4.Никольский Б. А., Кудрин Л. П., Али-Заде С. А. «Ж-эксперим. и теор.
физ.», 1957, т. 32, с. 48.
5. Норман |
Г. Э., Филинов В. С. «Теплофизика высоких температур», 1969, |
т. 7, с. |
233. |
6.Пичахчи Л. Д., «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1967, т. 53, с. 1461.
7.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Пер. с
англ. М., Изд-во нностр. лит., 1952.
8. Фишер И. 3. Статистическая теория жидкостей. М., Физматгиз, 1961.
9.Brush S. G., Sahlin Н. L., Teller Е. J. Chem. Phys., 1966, v. 45, p. 2102.
10.Chesant D. A., Salsburg Z. W. J. Chem. Phys., 1963. v. 38, p. 2861.
11.Wainwright T., Alder B. Suppl. Nuovo cimento, 1958, v. IX, No. 1, p. 116.
12.Wood W., Jacobson J. J. Chem. Phys., 1957, v. 27, p. 1207.
13.Wood W., Parker F. J. Chem. Phys., 1957, v. 27, p. 720.
Г л а в а ч е т ы р н а д ц а т а я
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
§37. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
ИВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДАХ В ПРОБЛЕМЕ МНОГИХ ТЕЛ
В десятой главе обсуждался вопрос о трудностях теории воз мущений для протяженной системы. Остановимся на этом под робнее и постараемся понять физическую причину этих трудно стей. В теоретической физике известны два подхода в теории возмущений: Бриллюэна — Вигнера и Рэлея — Шредингера. Первый из них был введен для улучшения сходимости ряда тео рии возмущений по константе взаимодействия. Пусть энергия системы описывается гамильтонианом
/ч /ч
а Е0 и Е — собственные значения операторов Н0 и Н соответст венно. Тогда различные приближения теории возмущений Бриллюэиа — Вигнера описываются так:
АЕ = Е—Е0,
где АЕ = Ег + Еъ+ . . |
(37.2) |
Ех --- |
<h>; |
£•„ + |
- |
} |
|
|
|
Н0 |
|
|
|
< \ . . > — диагональные матричные элементы |
по |
невозмущен- |
/ч |
|
|
|
|
|
ным собственным функциям; Ро — проекционный оператор. |
Подчеркнем/,ч что энергетический |
знаменатель |
в выражении |
для оператора 1/а содержит полную |
энергию |
системы |
Е0+А.Е |
(в отличие от теории Рэлея — Шредингера). Нетрудно |
видеть, |
•что в первом порядке теории возмущений |
|
|
|
Ег = 2 <<Ut, i > ~ |
N*iv = nN, |
|
|
(37.3) |
*/' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
< t/i, j^> — матричные |
элементы |
парного |
взаимодействия |
частиц; Л', п, V — соответственно |
число частиц, |
их плотность и |
объем, занимаемый системой. |
|
V—voo, n = const) |
поправ |
ка |
В асимптотическом случае (N—^oо, |
(37.3) пропорциональна |
числу |
частиц и вклад на |
одну ча |
стицу составляет конечную величину. Однако уже вторая по правка Е2 постоянна и не зависит от числа частиц. Этот же ре зультат получается для Е3, Е4>. . ., поэтому в асимптотическом пределе результат с учетом конечного числа членов теории воз мущений является неправильным. Возникает вопрос, насколько
хорошо разложение Бриллюэна — Вигнера |
описывает волновую |
многочастичную функцию при jV—»-оо? |
|
волновая функция |
В первом порядке теории возмущений |
связана с волновой функцией невозмущенной |
системы Ф0. |
соотношением |
|
|
|
Ч ' У 1 = ----------] ~ Р |
-- НФ0. |
( 3 7 . 4 ) |
Eq - р АЕ — |
Н0 |
|
|
Если использовать эту функцию в качестве пробной для вычис ления Еи то диагональный матричный элемент на базисе функ ций (37.4) оказывается совпадающим с аналогичным результа том вычисления па базисе Ф0 с точностью до членов 0(1/А').
Если Ф описывает систему многих свободных частиц в до статочно большом объеме, то Ф0 может быть набором N пло ских волн, удовлетворяющих периодическим граничным усло виям. При построении lFj,n) необходимо добавлять суммы чле
нов, каждый из которых представляет собой однократное взаи модействие отдельной пары частиц без участия других частиц
системы (пока не переберем все пары |
частиц). Поэтому ясно, |
что введением конечного числа членов |
ничего не добиться. |
Физически это можно пояснить следующим простым примером. Рассмотрим маленький объем системы, содержащий 100 частиц. Можно ожидать, что даже при весьма слабом взаимодействии две из этих частиц находятся в возбужденном состоянии. Тогда в большой системе объема V число возбужденных пар будет порядка 10~2 N. Поэтому вероятность большой системе нахо диться в состоянии, когда возбуждена лишь одна пара частиц, крайне мала. Наглядно это можно представить себе так. Пусть некоторая частица движется беспорядочно из некоторой точки к поверхности системы. Число столкновений, испытываемое ча
стицей на пути к цели порядка L/1, где |
L — размер системы |
(LZ~ V ) , |
а |
/ — средняя |
длина |
пробега. |
Если /?^1(Н0 |
м, |
а |
Ь ^ \ м, |
то |
при описании |
такого |
процесса |
нужно учесть |
~ |
1020 |
членов теории возмущений.
Эти трудности иногда можно преодолеть, суммируя беско нечное число связных диаграмм, что удается сделать, если за
дача содержит характерный малый параметр. Однако и в этом случае вопрос о сходимости полученных разложений, как пра вило, остается открытым. Поэтому наряду с методами теории возмущений, подробно рассмотренными в предыдущих главах, необходимо изучить и другие возможности. Одним из подходов, сыгравших в теоретической физике громадную роль, является вариационный принцип. Правда, в теории многих тел, как мы это видели в десятой главе, и вариационные оценки получить не очень просто. Однако это направление, по-видимому, является одним из перспективных в термодинамике плазмы, способным привести к конструктивным решениям.
На основании вариационного принципа Шредингера в кван товой механике можно утверждать, что среднее значение га мильтониана в состоянии, описываемом произвольной волновой функцией, не может быть меньше наинизшего собственного зна чения этого оператора. Если требуется рассмотреть основное со стояние системы, необходимо выбрать некоторый класс простых пробных функций и найти ту функцию из этого класса, которая
обеспечивает минимальное среднее значение гамильтониана Н. Таким путем можно получить верхнюю границу для энергии ос новного состояния. Вариационный принцип позволяет оценить энергию «сверху» и для возбужденных состояний системы.
§ 38. ВАРИАЦИОННЫЙ при н ци п д л я с т а т и с т и ч ес к о й с у м м ы .
ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП БОГОЛЮБОВА
Использование вариационного принципа для исследования равновесной системы частиц при конечной температуре позво ляет получить верхние оценки свободной энергии системы. Од ним из возможных подходов является вариационный принцип Н. II. Боголюбова. Предположим, что имеется непрерывная функция f(x), график которой представляет собой кривую, обра щенную выпуклостью вверх, т. е.
f(x')> f(x) + ( x ' - x ) r ( x ) . |
(38.1) |
/Ч
Пусть, далее, имеется оператор А с собственными значениями Л]-, где индексом к пронумерован полный набор собственных функций этого оператора. Пусть имеется также произвольный набор п ортогональных функций фи, скалярные произведения ко
торых с собственными функциями оператора А(»к) равны ап, к=
= (фк, Ык). Отметим, что если |
речь |
идет о гильбертовом про |
странстве функций, то |
такое |
скалярное произведение |
сущест |
вует по определению. |
|
|
|
|
Тогда на основании |
свойства (38.1) можно написать |
|
f (Ак) > / (Лп, „) + |
(Ак- |
Ап, п) Г (Ап. п). |
(38.2) |
