Определив s из условия максимума правой части этого нера венства, получим
Sp Нхехр (— р |
//0) |
(38.18) |
/Ч |
|
Sp ехр (— ряо)
Следовательно,
Sp ехр [— р (Я0 + Нг)] > ехр (—0s) Sp ехр (— 0Я9).
Поскольку свободная энергия F = — (l/p)lnZjV, то вместо этого неравенства получим неравенство (38.6), что и доказывает спра ведливость рассматриваемого вариационного принципа.
Рассуждая совсем просто, можно сказать, что вариационный принцип Боголюбова определяется двумя обстоятельствами: тем, что матрица плотности зависит от энергии системы экспонен циально, и потому, что
ev > 1 + х.
Конечно, кроме этого неравенства, молено написать и менеесильное:
еЛ' > 1 + х + -у-,
и вообще экспонента не меньше суммы конечного числа членов ряда, ее представляющего. Очевидно, что учет все большего чис ла членов разложения, т. е. все более полное использование свойств выпуклости экспоненты, ведет к все более слабым нера венствам при оценке свободной энергии системы. Иными слова ми, оценка для свободной энергии, оставаясь все время оцен кой сверху, будет приближаться к истинному значению свобод ной энергии. Конечно, каждое новое приближение должно силь но усложнять вид самого неравенства, и мажорантная теорема не будет выглядеть столь же просто, как в (38.6).
Оказывается, что вариационный принцип Боголюбова мож но получить как следствие вариационной теоремы Пайерлса, представляющей собой несколько более сильное утверждение. Рассмотрим комплексную функцию f(x)=exp(—0х), которую можно разложить в окрестности произвольной точки х:
f(x) = / ( х ) + ( х - х ) П х ) + . . . + |
—Т )-1- / (2я- ' }(-V) -1- |
В написанном разложении Тейлора член R^n пропорционален 2/г-й производной от f(x), причем коэффициент пропорциональ ности положителен. Для комплексной функции ехр(—0х) все четные производные положительны, так что
f (х) > f (х) + (х '— х) f (х) + • • ■+ ^ (2л — 1)! ^ |
) |
