и пи
2п—1
/ ( * ) > / (*) |
^ |
(* - *)'■ |
(38‘19) |
|
1 = 0 |
|
|
Рассмотрим дискретную последовательность точек, удовлет воряющих условию
О < х0< лу < . . .
Пусть р « — дискретные значения матрицы плотности |
(р« ^ 0 ) , |
которая нормирована следующим образом: |
|
|
|
|
У р = 1. |
|
|
|
|
|
га |
|
|
Определим далее |
среднее |
значение произвольной |
функции |
8 ( х ) |
|
8 = Л Р«ё (*«)• |
|
|
|
|
|
|
Тогда из неравенства |
(38.19) |
следует, что |
|
|
|
|
2л—1 |
__ |
|
|
Г > |
f (X) |
5 ] |
5 ] Ра |
~ ~ ХУ ’ |
(38-2°) |
|
|
/ = 0 |
а |
|
|
•справедливое для |
всех п ^ 1 . |
Определим |
ранее произвольную |
точку х, так чтобы
Ц Ра (*« — Х) = °-
Тогда при и= 1
/ > /(*)•
Рассмотрим теперь гамильтониан Я с парным набором ортонормированных функций |а > , таких, что
Я | сс> = £а I «>. 0 < Е 0 < Е г < £2< • • •
Пусть далее | s > — произвольная полная система ортонормированиых функций. Определим функцию-
f (Ха) = ехр (— рЯа)
так, что
Ра= I <s I а> I».
Тогда
2 < S I а > < а I s> --= < s I s> = 1
и
f s = 2 Р а exp (—P£a) =
a
= y><s I a > < a I exp(—РЯ) | s> = < s | exp(—рЯ) | s> .
a
С учетом неравенства (38.20) имеем для этой величины
< s | exp(— РЯ) | s> > exp (—P<s | Я j s>) X
< s |
| exp(— рЯ) | s> |
> exp(—p < s | Я | s>) X |
|
|
2rt— 1 |
|
|
X |
<5 I |
( Я - < s I Я I s » m I s> . |
(38.21) |
tn=0
Поскольку свободную энергию канонического ансамбля мож но записать в виде
F = — (1/Р)1п|5] О | ехр (—р Я) | s> j,
то из соотношения (38.21) следует неравенство
F < - (1 /P )ln I ? ехр(—P < s | Я | s>) X
2л—1
X V t ^ < s I ( H - < s I Я I s > r I s> ,
ml
m—0
справедливое для n= 1, 2, 3,.. Знак равенства в этом выра жении имеет место, когда функции |sj> являются собственны
ми функциями оператора Я или при п-+оо. При п —1
F < — (1/Р) In У exp (—Р < s | Я | s>). |
(38.22) |
S |
|
Это неравенство и выражает содержание вариационной теоре мы Пайерлса, дающей мажорантное выражение для свободной энергии системы.
Положим теперь |
Я = Я0 + Я Ь причем H0\s^> = Es\s>. Тогда, |
из соотношения (38.22) следует неравенство |
/=■< — (1/Р) 1п |
ехр(—P£i)-exp(—p < s | Ях | s » | , |
которое можно записать в эквивалентном виде:
F < - m 1п Щ |
exp (—p£s) ехр(—р < s | Нг | s>) X |
|
Sp exp (— р я 0) |
|
X Sp exp (— ря0) |
Введем величину |
|
Р, = exp (—p£,)/Sp exp (— РЯ0)
и снова воспользуемся неравенством (38.20) для выражения в квадратных скобках. Тогда
F < F 0 -r < Н г>0,
где
F0 = — (1/Р) In [Sp exp (—РЯ0)];
< ^ i > 0 = Sp [exp (—рЯ0) #i]/Sp exp (—рЯ0).
Эти соотношения содержат утверждение: свободная энергия си стемы всегда меньше суммы свободной энергии некоторого вспомогательного ансамбля и среднего по этому ансамблю от гамильтониана, представляющего собой разность гамильтониа на системы и оператора энергии вспомогательного ансамбля. Таким образом, вариационный ' принцип Боголюбова является следствием теоремы Пайерлса.
При построении мажорантных соотношений для свободной энергии, разумеется, можно использовать пе только свойство выпуклости экспоненты. Фейнман, например, предложил для построения мажорантной теоремы использовать при усреднении действительных функций / с положительным весом следующее неравенство:
< ех р /> > ехр< /> .
Рассмотрим два примера использования вариационного ме тода Боголюбова. Оказывается, что этот принцип позволяет изучить термодинамику ферромагнетика в одной из первых предложенных для пего моделей — модели Изипга [ 1], кото рая описывает кристаллическую решетку в следующем прибли жении. Решетка рассматривается как система из N атомов (неподвижных узлов), в каждом из которых находится элемен тарный магнитный момент р. Считается, что его ориентация относительно внешнего магнитного моля может быть только па раллельной или антипараллельной, а взаимодействие узлов друг с другом определяется расстоянием между ними и взаимной ориентацией моментов.
Г а м и л ь то н и ан та к о й си стем ы и м еет вид |
°1’ |
)32'83( |
/ |
5i=l |
|
N |
|
|
|
Я = — — V JtjOiOj — уЖ |
|
|
|
где Ж — напряженность внешнего |
магнитного |
поля; 1ц — инте |
гралы электронного обмена, относящиеся к узлам |
i и /; сг опре |
деляет ориентацию магнитного |
момента ц |
в |
г-м |
узле (а = |
= + 1 или —1). |
|
|
|
|
Модель Изинга предполагает, что узлы решетки равноправ ны и действие магнитных моментов распространяется лишь на
ближайших соседей. |
Поэтому |
j |
_ |
если t = / + 1; |
4 |
(О |
в остальных случаях. |
Вычисление статистической суммы
2* = У1 Yi ехР(— Р£ )> crft=±l
где Е определяется гамильтонианом (38.23), является сравни тельно простым в одномерном случае; трудным, но возможным в двумерной модели, а в трехмерной задаче аналитические вы ражения для ZN удается получить лишь в предельных случаях очень низких и очень высоких температур. Вариационный прин цип Боголюбова позволяет получить приближенное выражение для Zy при любых Г [1].
Выберем Н0 в виде
P^e = S; li0ri.
где т) — вариационный параметр, т. е. неизвестная пока вели чина, одинаковая для всех узлов решетки и имеющая простой физический смысл: величину сг^Р-1 можно представить себе
как энергию взаимодействия магнитного момента с некоторым
/S /X
эффективным полем ц/Сцр). Поскольку Я = Я0 + Я Ь
( & - л Н — L J J / {, j ataj,
о®— |
S i |
iФj |
где Ж =т)цР; |
= |
Тогда |
для статистической суммы систе |
мы, описываемой гамильтонианом Я0, можно написать |
Zo = Sp exp (— РЯ0) = |
2 |
exp (— рЯ0) = (2 ch r])7V, (38.24) |
а |
|
{0i, a2 ,..., |
aNy |
|
|
|
|
°i = |
(VZ0) Sp (Ji exp (— РЯ0) = th rj. |
Следовательно, нетрудно написать теперь выражение и для параметра s, определенного выражением (38.18):
s = (1/Z0) Sp Я,р exp ( - Р Н0) = N {§С- |
л) th ц - (1/2) V Ii} th2 л. |
|
i-t-i |
Тогда для гамильтониана (38.23) получим выражение |
(l//V)lnZxr = (1 /N) In Spexp(— pH) > 'F, |
где |
|
'У =: In 2 ch т) + {ffl, — л) th + |
(1/2/V) V I ц th2 ц, |
|
«>/ |
и для свободной энергии системы, рассчитанной на один узел, выражение
(l/AO/' = (l/rW )lnZ *< 1F/p. |
(38.25) |
Параметр г) теперь нужно определить из условия минимума верхней границы для свободной энергии. Это условие, как лег ко убедиться, приводит к трансцендентному уравнению для определения параметра ц:
Л — Ш = (Р/Ро) th ri, |
(38.26) |
где введено обозначение P^’= (1 /jV) 2 Jifj. При этом необхо димо взять то решение которое удовлетворяет неравенству:
1 — JL . —— |
> 0. |
(38.27) |
Ро ch2 Г] |
|
|
Зная решение уравнения (38.26), легко определить термодина мические параметры системы:
средний магнитный момент
М = дх1'/дМ = thrj;
намагниченность
/ = р пМ =-. »р th л;
где п — число узлов в единице объема.
Энергию системы, приходящуюся па одну частицу,
в = - ( д Щ 'Р = — (1/2) р^1th2 л,
причем р0 определяется макроскопическими свойствами систе мы (2/,-j).
Можно написать, в частности, выражение для так называе
мой п о с т о я н н о й Вейса , |
определяющей внутреннее моле |
кулярное поле, |
|
|
~ _ 1 |
_ |
0О |
N |
|12/г |
р2 п ’ |