где 0о — точка Кюри, а р — средний магнитный момент части цы. Можно, в принципе, определить и скачок теплоемкости в точке Кюри, а также остальные термодинамические свойства системы. Метод позволяет обнаружить даже фазовые переходы, поскольку не предполагает требования о гладкости термодина мических функций, с чем неизбежно приходится сталкиваться при разложении этих функций по малым параметрам.
Рассмотрим второй пример, где вариационный принцип Бо
голюбова приводит к полезным результатам. |
Изучим |
модель |
для классического неидеального газа, которую |
можно |
назвать |
м о д е л ь ю я ч е и с т о г о |
г а з а . Пусть в объеме |
V в |
состоя |
нии термодинамического |
равновесия находится |
N |
одинаковых |
частиц |
массы пг. Рассматривая эту систему как классическую, |
получаем |
|
|
|
Zjv |
1 Г |
Г / _ т _ \ з л '/2 |
е- Ру d r Ус1г2 . , d r N , |
(38.28) |
М J |
' J \ Vi2 J |
|
Г |
V |
|
|
где потенциал U является суммой потенциалов парного взаимо действия
U = У U (г, — г,). |
(38.29) |
1 < 1 < /< Л ' |
' |
|
Сведем непрерывную систему к дискретной следующим обра зом. Разобьем объем V на N одинаковых ячеек, объем каждой из которых равен Кяч, и будем считать U(i—j), где i и / — ин дексы ячеек, ступенчатой функцией, постоянной в пределах каж
дой ячейки. |
Выберем объем |
Уяч так, чтобы в каждой ячейке |
содержалось |
не более одной |
частицы. Пусть при i— j |
сущест |
вует бесконечное отталкивание, т. е. |
U(i—/) = +оо, а |
при i^=j |
будем считать, что имеются |
силы |
притяжения между части |
цами, так что U(i—/) <0, причем | S U(j) | — ограниченная
/= о
величина. Это взаимодействие описывает в некотором прибли жении реальное поведение молекулярного газа. Теперь вместо формулы (38.29) можно написать
1 |
в/+1 |
(38.30) |
2 |
|
|
где Oi =±l (i= l, 2, ..., N) |
подчиняются |
дополнительному |
условию |
|
|
|
2 = |
(38.31) |
Принимая такую аппроксимацию для U, получаем вместо формулы (38.28) выражение в виде Л'-кратной суммы по всем ячейкам, в которой экспоненциальный множитель обращается в нуль при i = j. Перейдем в этом выражении к суммированию
13* 387
по всем наборам {си}, подчиняющимся условию (38.31). Введя при i=£j обозначение
получим |
( 1 / 4 = |
|
|
ZN = V" |
( — — V jV/2exP f— V |
|
\ 2лй2Р 1 |
['- у 2 ^ J (г' —/) + !) (ст/ -И 1)} • |
|
|
Вычисление статистической суммы существенно облег чается, если вместо ZN вычислять статистическую сумму боль шого канонического ансамбля:
Zn = 2 |
ехР ((1/2) £ 2 |
(а/ -1- 1) + (Р/2) 2 / ( i - i ) к- + 1) (а,- + 1)1 , |
Ю |
I |
< |
И |
I |
|
|
|
|
(38.32) |
где | = ftp,+ In |
|
/2 ’ В — химический |
потенциал. Число |
частиц в такой записи равно |
|
N = $~l dinZN/dp.
Сравнивая эти выражения с формулами предыдущей задачи, можно видеть, что вычисление ZN эквивалентно вычислению статистической суммы для изинговской ферромагнитной систе мы с гамильтонианом
где d — некоторая постоянная. Отвлекаясь от граничных эф фектов и выбирая, как и раньше, «нулевой» гамильтониан в виде:
|
- Р Я 0 = л | J |
(38.33) |
получаем, согласно вариационному принципу Боголюбова, |
\nZN > W = ~ - d ( l + |
+ d In 2ch t] -ft ( - y + |
^ - — T))dthTi-ft |
|
+ -J -d th * r), |
(38.34) |
где |
|
|
Выбор пулевого гамильтониана в виде (38.33), как было вы яснено ранее, соответствовал в изннговой модели введению эф фективного магнитного поля, действующего на отдельные спины решетки. Как нетрудно убедиться в настоящем случае, такой
/ S
выбор Н0 соответствует введению некоторой эффективной мас сы частиц ячеистого газа, которая потом определяется наи лучшим в вариационном смысле образом.
Определяя параметр ц в выражении (38.34) из условия мак симальности lF, получаем трансцендентное уравнение
th»i+ 1 = (Р0/ Р ) ( п - 4 “ *)■ |
(38-35) |
Исследуя решение этого уравнения, нетрудно убедиться в том, что в зависимости от |(р , р) и р имеется одно или три решения для тр Подставляя их в выражение (38.34) и учитывая равен ство \nZK = PV, получаем, что на диаграмме P = P(V) одному н тому же значению давления может соответствовать одно или три состояния с различными значениями V. Промежуточное состояние, соответствующее промежуточному решению для 1], неустойчиво, так как отвечает минимуму (а не максимуму) ве личины Ч*'.
Чтобы написать уравнение состояния для системы с задан ным числом частиц, исключим р из выражения (38.34). Тогда
N = (1/2) d (1 -I- th т]).
Из формулы (38.25) получим
|
Рр =--2arcth |
|
|
|
Введем величины b= Nd и |
a = 2dN2l$0. Тогда, исключая d и Ро |
|
из полученных выражений, имеем |
|
|
In Zn = N In |
jVIn |
op |
|
V |
|
|
|
|
|
|
(38.36) |
Уравнение состояния определяется выражением [2]
$P = (dlnZN/dV)i. v.
Используя формулу (38.36), получаем, что первые три слагае мых дают в точности формулу Ван-дер-Ваальса, а последний член в случае разреженного газа (b/d<^\) учитывает малые поправки. В общем случае получается следующее уравнение состояния:
(р+тг) = Ь V — b (38.37)
§ 39. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ МНОГОЧАСТИЧНЫХ КУЛОНОВСКИХ СИСТЕМ
Рассмотрим использование вариационного принципа для оценки свободной энергии плазмы сверху и снизу как нейтраль ной, так и заряженной компонент плазмы, причем и ту и дру гую подсистему будем описывать как систему многих частиц. Уравнения квантовой механики полностью описывают поведение системы многих частиц во времени под влиянием внешнего возмущения. Поскольку те же уравнения описывают, в частно сти, и равновесные свойства системы, то можно связать инфор мацию о квазистационарных состояниях со статическими свой ствами системы. Таким образом, изучение реакций системы на внешнее возмущение (в том числе и экспериментальное изуче ние) позволяет судить о равновесных ее свойствах.
Введем определенную в § 21 корреляционную функцию «плотность — плотность»
S(k, ш) — $drcdtexp[i(kr — сог1)] < [P(г, t), p(0, 0)]>, (39.1)
/S
где с — число измерений; оператор матрицы плотности р выра- /S
жен через полевые операторы ф+, ф во вторичном квантовании уже знакомым нам образом:
р (г, t) = ф+ (г, t) ф (г, t) exp (— i Ht) ф+ (г, 0) ф (г, 0) exp (i Ht); (39.2)
Символ < ... > означает усреднение по большому канониче скому ансамблю системы многих частиц. Нетрудно показать, что
|
S |
(к, со)/ю > |
0. |
(39.3) |
Введем величину |
|
|
|
^ __ ]-m |
/ J d(m 2S/(i> у |
JdcoS/со _ |
jjm |
[JrfcocoSp |
k- * - 0 |
\ J rfwS/m J |
J dn)(i)4S/(o |
|
J da (S Iсо) f daa3S |
Она удовлетворяет неравенству |
|
|
|
|
0 < Д < 1 . |
|
(39.4) |
Тогда из неравенства (39.3) можно получить
Дальнейшее рассмотрение основано на использовании нера венств (39.4), (39.5) и правил сумм для корреляционной функ ции 5 (к, со):
f daS (к, со) = k2/m; |
j |
|
lim fdcoS (к, <o)/co = пКт, |
I |
(39.6) |
k-*0 |
) |
|
