Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

где т — масса; п — плотность частиц в системе; Кт— изотер­ мическая сжимаемость. Третий момент корреляционной функ­ ции удовлетворяет условию [5]

Екни — кинетическая энергия, приходящаяся на частицу; U(r) — потенциал взаимодействия;

g (г) = < Р (Г) р (0) > = — п6с (г).

Комбинируя неравенства (39.4) и (39.5) с правилами сумм, получаем

Существенна положительная определенность оператора взаимо­ действия (см. десятую главу), так что А ^О . Средняя потенци­ альная энергия на частицу равна

где Р — давление, а полная энергия на частицу

-® ®кин “Ь ё 1ют.

Следовательно, для величины В\ можно написать выражение

B1 = a(s)—---- Ъ(s) е,

п

где

s + 3 при с = 1;

391

Свободная энергия системы на частицу

/ = 8 — TS,

где S — энтропия.

Используем теперь известные термодинамические соотноше­

Подставляя их в формулу (39.7) и интегрируя результат по плотности я, можно получить границы для любых интересую­ щих нас термодинамических величин. Так, комбинируя выра­ жения (39.11), (39.12) и (39.7), получаем

(39.13)

Учитывая, что е^О , можно проинтегрировать это неравенство по я при фиксированном S для а > 0. Тогда

(39.14)

для всех S и п, J] таких, что я ^ ц . Для а< 0 это неравенство меняется на обратное. Отметим, что граница, устанавливаемая

е(я, S ) на f(n, Т), неравенство (39.14) оказывается справедли­ вым для всех

392

Рассмотрим теперь первое из неравенств (39.7) в случае Ь'^.0. Введем величину

$ = J - K Ta — < R < 1.

пп

Тогда с учетом термодинамических соотношений (39.12) по­ лучим

пдп

что приводит при интегрировании по п в пределах (£, п) к сле­ дующему неравенству, справедливому при всех /г^£:

Это неравенство справедливо также для всех п о ^ п ^ ц . При 7=0 оно сводится к мажорантному неравенству для энергии основного состояния системы (на частицу):

Неравенства (39.16), (39.17) дополняют результат (39.14). Рассмотрим теперь систему частиц, взаимодействие которых

друг с другом описывается короткодействующим потенциалом типа Ленарда — Джонса

для к, 1>с. Тогда очевидное обобщение предыдущего рассмот­ рения позволяет написать

5=12; с= 136/15; Хл> 0Ж,-

Пусть П\ — значение плотности, при котором е По т = 0 (напри­ мер, в системе с давлением Р = 0). При п > п 1 энергия системы положительна, т. е. оправдано интегрирование (39.13) по п. При этом получается

393

(39.16) по | от щ до п, а затем по п от т) до п, получим нера­ венство, справедливое для всех п ^ ц ^ п ^ .

Аналогично можно получить неравенства для f и при конечных температурах. Неравенства (39.13), (39.16), (39.17), (39.1.9) и (39.20) определяют строгие границы для свободной энергии f (или энергии е системы [3]).

Оказывается, что подобные неравенства можно получить не только в случае системы частиц с короткодействующим взаимо­ действием, но и для реальных многокомпонентных систем ку­

4

p ^ r ) — оператор матрицы плотности; я, — плотность частиц г'-го сорта. Нетрудно видеть, что, согласно вириальной теореме (см. вторую главу), можно написать следующее выражение для полного давления:

394

А = р (к) = у] рг (к).

Тогда, как и ранее, можно сформулировать правило сумм, опре­ деляющее сжимаемость Кт'

Введем в качестве оператора «массовой плотности» оператор

Я= J] Щ р‘ (к).

1=1

Врезультате прямого вычисления получаем

rfco

Сг — а (s) —---- &(s) е,

где a(s) определено выражениями (39.11).

Пусть число измерений с= 3 в случае реальной кулоновской системы. Тогда а —26/5, 6= 22/15. Если полная энергия отрица­

395