тельна (что имеет место-в многокомпонентной системе куло новских частиц), то, вообще говоря, оценки для свободной энер гии / получить более сложно по сравнению со случаем системы с короткодействующим отталкиванием, рассмотренным выше. Рассмотрим сначала второе из неравенств (39.26). Пусть г — функция п и S. Определим n.i(S) так, чтобы
е (пп^ S) = 0.
Тогда аналогично неравенству (39.14) можно получить
е (п, S) > [е (г), S) тр] nv для |
всех п > г) > пи |
(39.27) |
где v = 11/39. |
|
|
Рассмотрим первое из неравенств |
(39.26). Определим п0 так, |
чтобы /'(«о, Т) =0. Тогда для п>п0 |
|
|
Сх < аР/п |
|
(39.28) |
и аналогично неравенству (39.16) можно написать неравенство, справедливое для всех n ^ r ] ^ n 0,
|
fin, |
Т )</(т], |
Т) — ~-Я° , |
(39.29) |
|
|
|
|
|
|
Ч»— 4 |
|
|
где \i = a—1= 12/5. Поскольку 5 |
нигде |
не |
отрицательно, для |
п ^ .п 0 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С1< а (Р/п) — bf < а [(Р/п) —/J. |
(39.30) |
Используя неравенства |
(39.12) и (39.30), получаем: |
|
д |
In |
|
|
|
< |
— . |
|
|
дп |
|
|
|
|
|
п |
|
Это неравенство |
можно |
проинтегрировать, |
что |
дает для всех |
1^ . п ^ п 0: |
|
|
|
|
|
/г1* — пК |
|
|
|
/ ( « ) > / (Л)-П |
|
(39.31) |
|
|
) |
|
|
|
|
|
Здесь использовано известное соотношение [2] |
|
|
|
df |
|
р |
|
2 д ( f |
|
|
|
|
п —---- / |
|
= пг— ( — |
|
|
|
|
|
дп |
|
|
|
дп у п |
|
|
|
и проведено интегрирование по п от £ до |
п0, а |
затем по £ от |
Г) до п. |
(39.29) и (39.31) |
дают строгие нижнюю и верх |
Неравенства |
нюю границы для свободной энергии рассматриваемой систе мы, т. е. плазмы, содержащей как нейтральную компоненту, так и подсистему кулоновских частиц разного сорта в предпо ложении точечных частиц. Рассмотрение содержит существен-
мое предположение о трансляционной инвариантности всех пар ных взаимодействий. Поэтому приведенные неравенства неспра ведливы, когда ядерпые и магнитные дипольные силы играют большую роль. В частности, предыдущее рассмотрение не го дится для исследования термодинамики твердого тела.
Отметим также, что изложенный метод не дает алгоритма сближения верхних и нижних границ для свободной энергии си стемы, что сильно ограничивает его прикладную ценность. Од нако изучение плазмы с сильным взаимодействием с помощью приведенных выше соотношений, по-видимому, полезно, ибо строгие границы для энергии могут привести аналитически к интересной информации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Квасников И. А. «Докл. АН СССР», 1956, т. ПО, с. 755.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М., «Наука», 1964.
3.Kleban Р., Lange R. Phys. Rev. Lett., 1969, v. 22, p. 1045.
4.Kleban P. Phys. Rev. Lett., 1969, v. 22, p. 587.
5.Puff R. Phys.'Rev., 1965, v. 137A, p. 406.
Г л а в а п я т н а д ц а т а я
МЕТОД ТОМАСА—ФЕРМИ В ТЕРМОДИНАМИКЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ
§ 40. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И РАЗРЕЖЕННАЯ СИСТЕМА АТОМОВ
Рассмотрим описание систем многих частиц в приближении самосогласованного поля. В некоторых условиях уравнения Хартри — Фока сводятся к простому уравнению, описывающему
состояние многочастичной |
системы, — уравнению |
Томаса — |
Ферми — Дирака (Т—Ф—Д). |
Без учета обменного взаимодей |
ствия в том же приближении |
уравнения Хартри |
сводятся к |
единственному универсальному уравнению-—уравнению Тома
|
|
|
|
|
|
|
са — Ферми |
(Т — Ф). Уравнение |
Т—Ф—Д было получено Ди |
раком |
как |
квазиклассический |
аналог |
квантовомехапических |
уравнений Хартри— Фока |
[10], |
однако |
наиболее |
просто оно |
может |
быть получено из |
вариационного |
принципа. |
Для этого |
необходимо составить выражение для энергии системы частиц, например электронов, находящихся в потенциальном поле, ко торое могут описывать потенциалы сколь угодно большого числа положительно заряженных частиц и любой потенциал внешнего поля.
Для получения искомого выражения для энергии разделим электронный газ системой перегородок на отдельные элемен тарные объемы dV, так чтобы каждый элемент объема содер жал еще достаточно большое число электронов и чтобы потен циал внутри dV оставался примерно постоянным. Поскольку энергия газа, подчиняющегося статистике Ферми, при разбие нии на указанные ячейки, содержащие большое число частиц, меняется незначительно, полная энергия системы может быть представлена суммой энергий отдельных подсистем в объ емах dV.
Пусть внутри каждой ячейки электроны представляют сво бодный электронный газ при температуре Г= 0. Поскольку ки нетическая энергия свободного электронного газа составляет 3/5 энергии Ферми (см. § 20), кинетическая энергия системы в каждой ячейке равна
dV,
где
к к = ~ (Зл2)!/* Az0 — 2,87164.
Тогда кинетическая энергия системы |
|
£кин = |
I n*i>dV, |
(40.1) |
где п — плотность электронов.
При вычислении потенциальной энергии электронного газа целесообразно разделить потенциал в каждой ячейке на две части: потенциал, создаваемый электронным облаком,
и Uu — потенциал, являющийся внешним для электронного газа. Тогда полная энергия электронного газа
р п (г) п (/-') dVdV' |
(40.2) |
|
2
где последний член в правой части описывает электростатиче ское взаимодействие электронов. В выражении дляпотенци альной энергии системы Е„от содержится член, обусловленный собственной электростатической энергией.
Предположим, что число электронов в системе фиксирова ло, т. е.
Для вывода уравнения Т—Ф сформулируем вариационный принцип следующим образом:
где U0— множитель Лагранжа, подлежащий определению. Варьируя уравнение (40.2) по п при неизменных внешних усло виях и неизменном N, получаем из выражения (40.4):
где U=Ue+Uk— полный потенциал. Следовательно, в случае произвольного бп
где
Величины U к п связаны уравнением Пуассона
A (U— U0) — 4лпе.
Отсюда следует уравнение Т—Ф: |
(40.5) |
A(U — U0) = 4лсг0е (U — £/0),/г, |
которое в рассматриваемой модели определяет зависимость по тенциала U от координат, а также и распределение плотности электронного газа. Полученное нелинейное уравнение является квазиклассическим аналогом системы уравнений Хартрн. По тенциал U при рассмотрении конкретных задач определяется выражением (40.5) и граничными условиями.
Решение уравнения Т—Ф в случае сложных систем вызывает известные трудности. Точное решение этого уравнения получено лишь в наиболее простых случаях. Примером является решение для изолированных атомов и ионов со сферическим распреде лением электронов.
Пусть имеется атом с зарядом Z и числом электронов N, вообще говоря, не равным Z. Поэтому последующее рассужде ние годится и для ионов. Отметим, что эти рассуждения приме нимы и к системе из атомов, которые при сохранении сфериче ской симметрии сжаты внешним воздействием (давлением). В этом случае нужно только помнить, что граничные условия задачи будут иными.
Вместо выражения (40.5) можно написать в случае |
сфери |
ческой симметрии: |
|
[г (U - t/0)] = 4ла0е— - [г (U - U»)]*/>. |
(40.6) |
Г 12 |
|
Предположим, что отличная от нуля плотность электронов ато
ма |
простирается вплоть |
До некоторого граничного радиуса г0, |
а |
вне сферы радиусом |
г0 п= 0. Попробуем определить п(г0) |
на «границе» атома. Решение уравнения Т—Ф однозначно, если заранее известно г0, а энергия атома Е и плотность электро нов п являются функциями г0. Значение г0 можно определить из
условия |
dE/dr0=0. |
При интегрировании |
в выражении (40.2) |
верхний предел интегрирования теперь равен г0. |
Нетрудно ви |
деть, что |
|
|
|
|
dE |
|
|
|
|
dr0 |
|
о |
|
|
|
|
|
где «0 = |
я('о)- Тогда, |
учитывая выражение |
(40.3), |
получаем |
|
|
гI |
|
|
0
= 4лг20( хй«;/з — [U (г0) — Е0] п0е] •
