Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

элементов из F относительно закона JL можно сначала взять в Е, относительно закона Т , композицию прообразов х и х' элемен­

физм множества Е на F и если Е обладает нейтральным элемен­ том, то F обладает нейтральным элементом, который является образом при изоморфизме нейтрального элемента множества Е.

2)Отображение /_1 тоже есть изоморфизм F на Е.

§8. Дистрибутивность одного закона относительно другого

Пусть Е есть множество, наделенное двумя внутренними за­

ным слева и справа относительно закона Т , или (равносильное выражение) вдвойне дистрибутивным, или, сокращенно, дистри­ бутивным относительно закона Т , если для любых x ,y ,z ^ E

( x T y ) ± z = (x ± z ) T ( y ± z ) и z 1 _ {хТ y) = {z ± x ) T ( z _]_ у).

Пр и м е р ы . Е есть множество целых чисел, Т есть закон +', J_ есть закон •. Умножение дистрибутивно относительно сложе­ ния, т. е. для любых X, у, z

(х + у ) *Z = X-Z + y- Z и Z ■{х + y) = z ■X + Z • у.

Однако сложение не дистрибутивно относительно умножения, так как соотношение ху + z = (х + г) • (у -j- z) не может выпол­ няться для любых X, у, Z.

Напротив, возведение в степень, не будучи коммутативным за­ коном (см. § 3 этого раздела), дистрибутивно справа относи­ тельно умножения, так как для любых положительных а, Ь, с имеем (ab)c = асЬс.

Р А З Д Е Л 2

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ: ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ТЕЛА

В этом разделе мы будем рассматривать внутренние законы на множестве Е, обладающие многими из свойств, определенных в первом разделе. Множества, в которые превращают Е такие законы, постоянно встречаются в математике. При этом множе­ ство Е, наделенное одним или двумя из этих законов, принимает специальное название; это будет группа (Е наделено единствен­ ным законом, обладающим некоторыми свойствами), кольцо или тело (два закона, каждый из которых обладает своими специаль­ ными свойствами и свойствами по отношению к другому закону).

§I. Группы

1.Определение. Множество G называется группой, если оно наделено внутренним законом Т , обладающим тремя следую­ щими свойствами:

Этот закон называется законом группы.

Если, к тому же, закон Т коммутативен ( х Т у — у Т х), то группа называется коммутативной, или абелевой.

чисел и нуля вместе с законом сложения -f- составляют группу (относительно этого закона). Роль е играет нуль. Эта группа коммутативна.

Однако то же самое множество, наделенное законом умноже­ ния, уже не будет группой, поскольку свойства А п N выпол­ няются, а свойство^ не выполняется для нуля и напротив, это же множество без нуля становится группой относительно умно­ жения. Нейтральным элементом служит 1.

2) В элементарной геометрии рассматриваются вращения плоскости вокруг точки А. Такое вращение определяется ориен­ тированным углом X, а вращения на угол х и х + 2kn (k — целое число, положительное, отрицательное или нуль) представляют собой одинаковые геометрические преобразования.

Рассмотрим теперь во множестве действительных чисел отно­ шение между двумя действительными числами х, х’, определяе­ мое так: разность между х и х' равна 2kn; это отношение будет записываться х ==x'(mod2kn) и читаться: х конгруэнтно х' по

модулю 2кя. Полученное отношение есть отношение эквивалент­

= х" + 2(k + k')n).

Пусть Ѳесть класс эквивалентности для х\ Ѳ определяет вра­ щение вокруг А. Пусть, далее, Ѳ есть класс эквивалентности для

а через е —вращение, определяемое классом Ѳ. Закон компози­ ции между вращениями р есть закон абелевой группы. Принято говорить о произведении преобразований. В соответствии с этим, композиция двух вращений р и р' по предыдущему закону запи­ сывается в виде рр', и, если обозначить через р~‘ вращение, сим­ метричное к р, то

(РРО р " = Р (Р'Р")> рв = ер = р, рр-‘ = Е, рр' = р'р.

Этот геометрический пример показывает, что можно говорить о произведении вращений р, р', несмотря на то, что это произве­ дение было представлено суммой Ѳ+ Ѳ', так что обозначение закона диктуется всего-навсего соображениями удобства.

2. Подгруппа. Множество всех целых чисел образует группу по сложению. Возьмем в этом множестве подмножество, состоя­ щее из четных чисел и нуля, с сохранением того же закона. Сно­ ва получим группу. Для нечетных чисел это уже не так.

Этим примером иллюстрируется следующее определение.

Определение. Пусть G есть группа относительно внутреннего закона Т ; подгруппой группы G называется такое подмноже­

Закон полученной таким путем группы G' называется зако­ ном, индуцированным на G' законом группы G.

‘Г е о р е м а 1. Если G' есть подгруппа группы G, то ее ней­ тральный элемент совпадает с нейтральным элементом группы G, а симметричным в G' для элемента х е G' является тот же самый элемент, который симметричен в G элементу х как эле­ менту группы G.

Для упрощения записи будем использовать мультипликатив­ ную запись законов в G и G'. Пусть е — единственный нейтраль­ ный элемент группы G, а е' — нейтральный элемент группы G'.

один и тот же элемент (разумеется, при условии, что х принад­ лежит и G, и G').

Характеризация подгруппы. Пусть G есть группа с аддитив­ ной записью и с нейтральным элементом, обозначаемым 0. Если