Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 128

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

460

ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

С тал о

бы ть,

и

 

 

tx ( £ 4W ) < ( x ) 2M £ i (V )).

О ко н ч а те л ь н о получаем

^ ^ ( A ) K ( y ) V ( £ , ( A 0),

и значит,

lim

\ i { E 2n) —

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н о

если р а ссм а три в ать

тол ько

рац иональны е

значения X и X ' ,

а стало бы ть,

счетное

м нож ество их, то

м нож ество Е

(X,

X')

тех х,

где 8g

<

X ' < X < A d ,

равно

 

П Е 2п, и значит,

имеет меру

нуль.

И т а к ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

м нож ество точек х ,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бg {х) < X ' < X < A d (х),

 

 

 

 

 

 

имеет м еру н ул ь ; .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 )

м нож ество точек х ,

в

ко то р ы х

6г (х )

<

Д<г(х),

есть

м но­

ж е ство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E = { j E ( X , X ' ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я,

я/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и значит, имеет м еру нуль.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тем сам ы м теорема д оказана .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

2. П р о и з в о д н а я

н е п р е р ы в н о й

монот онной

ф у н к ­

ц и и н а

[а, Ь] инт егрируем а

относительно м ер ы Л ебега -,

п р и

этом,

е с л и f

возрастает, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J D f ( t ) d t ^ f ( b ) - f ( a ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П у с ть

/ —

во зр а ста ю щ а я

ф ун кц и я

и

(h n )

—

последователь­

ность

стро го

п о л о ж и те л ь н ы х

 

чисел,

стре м ящ и хся

к

н ул ю , и

п усть

 

 

 

 

f(x +

hn) —

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фп (х)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= '

 

 

hn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(<р„(х)

5 *

0. та к к а к /

во зр а ста е т ).

В си л у

того ,

что

D f ( x )

равна

почти

всю д у

н и ж н е м у п ра вом у прои звод но м у

 

числу,

получаем

. D f (х ) = Н т in f ф„ (х).

п. в . п - > оо

Следовательно , D f равна почти всю ду н и ж н е й оболочке после ­

довательности п о л о ж и те л ьн ы х и н те гр и р уе м ы х ф ункций , и зн а ­ чит, и н те грируем а .

 

 

8.

М ЕРЫ

Н А

Ч И С Л О В О Й

П Р Я М О Й

 

 

 

461

П о с к о л ь к у

мера

Л еб ега и н в а р и а н тн а

относи тельно

переноса,

элем ентарное вы числение п ока зы вае т,

что

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

/b+hn

 

a+hn

 

 

 

 

 

J ф„ (0dt — (1//Ц

I f (t) d

t -

J

f(t) dt

 

 

 

a

 

 

 

'6

 

 

a

 

 

 

 

А та к

к а к

/ непреры вна ,

то

п равая часть

это го неравенства

стрем ится

к

f ( b ) —

f ( а ) ,

и,

по

теореме

Ф а ту

(раздел

3, § 3)

имеем

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J D f ( t ) d t ^ f ( b ) - f ( a ) .

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(О тм е ти м ,

что этот

резул ьтат го д и тся

для ве рхн и х ил и

н и ж н и х

прои звод ны х

ф ункций с одной

и той

ж е

правой

или

левой сто ­

р он ы .)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е . Т е о р е м а

1

и

п е р в а я

часть теоремы

2

с п р а в е д ­

л и в ы д л я н е п р е р ы в н о й ф у н к ц и и о г р а н и ч е н н о й в а р и а ц и и .

Теорем а 2 имеет интересное следствие, которое будет ис ­

пользоваться

при

изучении

ф ункц ий

о гра ни ч ен н ой

вариац ии .

П риведем

это следствие.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е .

Пуст ь

(fn ) — с х о д я щ а я с я

просто

п о с л е д о ­

вательность н е п р е р ы в н ы х в о з р а ст а ю щ и х ф у н к ц и й н а

[а,

Ь\.

П р е д ­

полож им ,

что д л я л ю б о г о п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jь D f n { t ) dt =

f n { b ) - f n (a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и что

последоват ельност ь

( D f n )

возрастает

почти

в с ю д у ,

т. е.

 

 

 

 

 

D f n ( x )

<

 

D f n + i (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П .

В .

 

 

 

 

 

 

 

Т о г д а п р е д е л ь н а я

ф у н к ц и я

последоват ельност и

f n д и ф ф е р е н ц и ­

р у е м а

почти в с ю д у , и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

I

lim

f n\

=

lim (Dfn) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\rt -» o o

/

n.

в.

 

 

 

 

 

 

П у с ть

ф —

lim

f „ .

П о к а ж е м ,

ч то -с х о д и м о с ть

п ослед ователь ­

н ости fn —

равном ерная.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С огл а сн о

теорем ам

1

и

2,

для л ю б о го х е

[а,

Ь] имеем

 

JX

D U

(/) dt < fn (х) -

fn (a),

 

JЬ D fn

(t) dt <

f n (b) -

fn (x).

a

X

462 ГЛ . X . И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е

Но так как, по условию, предполагается выполненным ра­ венство

J D fn(0 dt = fn {b) —f„ (а),

то после сложения неравенств получаем

fn (Ь) — fn (а ) < fn (Ь) —fn (а ),

и тем сам ы м

показы ваем ,

что в

э ти х

неравенствах

строгое

не­

равенство

не

м о ж е т им еть

места.

С ледовательно,

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

— fn (a),

 

Ь

 

 

 

 

 

 

 

J Dfn (if)

dt =

 

fn ( x )

 

J Dfn (t) dt =

fn {b) — f„ (x ) .

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

Е с л и p

<

<7,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J D fp( t ) d t < $ D fq (t)dt,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

о тк у д а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fp (x) — fp(a)^fq(X) — fq( a ) ,

fq (а)

— fp( a )

< fq (x) —

fp (x),

 

и, точно т а к ж е ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о ткуд а

 

 

 

fqM

— fp(X) < fq(b) — fp( b) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 fq(*) —

fp(X) I <

su p (fq (ä) —

fp(a ), fq( b) —

fp (b)) =

ePi q.

 

Т а к к а к fn сход ится в

a

и в

b, то ер, q стрем ится

к

н ул ю ,

о т ­

куд а

следует равном ерная сход им ость последовательности

 

С тал о бы ть,

предел

<р является непреры вной

ф ункцией , а п о ­

ско л ь к у / „

—

во зра стаю щ а я

ф ун кц и я

при лю бом

п,

то

предель­

ная

ф ункция

ф

то ж е

возрастает, и

значит, диф ф еренцируем а

почти всю ду.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П у с т ь снова р

^

q

и х

^

х ' . О п я ть

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fq(x)-fp(x)<fq(x')~fp(Xf)

 

 

 

 

И д ля <7- »

оо имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф ( * )

— fq ( * ) <

 

Ф(X') — fp (x').

 

 

 

 

 

Т а ки м

образом ,

ф ун кц и я

ф — f p

непреры вна ,

возрастает,

стал о бы ть,

диф ф еренцируем а

почти

всю д у ,

и

ее

производ ная

п ол о ж и те л ьн а .

С ледовательно ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D y (х ) >

 

D fn (х),

 

 

 

 

 

П. 8.

8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

463

ив силу теорем ы 2

ьь

ф(Ь) — ф(а) >

ГD y

(/) dt >

"

f D f n (/) dt =

lim

(f„ (ö) —

f n (а)) ==

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

n -> oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

<3

 

 

 

 

 

 

 

= ф (6) — ф (а ).

 

С тал о

бы ть,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f D y { t ) d t

— lim

f

£>f„ (/)

rf/.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

n->00

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П о с к о л ь к у последовательность

(D f n)

возрастает

и

 

ее и н те ­

гр а л ы о гра ни ч ен ы ,

то, по теореме Б .

Л еви ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

D f n { t ) d t —

 

 

lim D f n { t ) d t =

 

D y ( t ) d t .

 

 

 

 

 

Н о т а кП - >коа кJГ

 

 

D ф (fх ) > D f n ( x ) ,

 

JГ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

J

r t - > o o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П . В .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

О ф (х )

^

lim

D f n ( x ) , и

 

зн ачи т,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п. в. «-><»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D<p (л:) —

 

lim D f n (х )

>

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П.

В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

та к к а к и н те гр а л

о т D y

—

lim D / „ равен

н у л ю ,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D y

—

lim D f n

—

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П. В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сл ед овател ьно ,

D f n

им еет

предел ,

р авн ы й

п о ч ти

всю д у

D y .

 

 

2. Производная

функции

скачков.

Ф ун кц и я

ска чко в

(м о н о ­

тонной ф ун кц и и

или

ф ун кц и и о гра ни ч ен н ой

в а р и а ц и и )

во зра с ­

тает, но не явл я ется

непреры вной ,

кром е

к а к

в случае ,

если

она

равна н ул ю .

З н а ч и т ,

проводивш ееся

вы ш е

исследование,

когда

ф ун кц и я

пред по л агал а сь непреры вной ,

у ж е не го д и тся д л я

ф ун к ­

ции ска чко в ,

и д ля нее требуется спец иальное исследование.

Д л я

ф ун кц и и

ска чко в

имеет место сл е д ую щ и й р езул ьтат:

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

3.

Ф ун кц и я

ск ач ков

 

монотонной

ф ун кц и и

на

[а, Ь] имеет почти

в с ю д у

п р о и зв о д н у ю ,

р а в н у ю

нулю .

 

 

 

 

 

П у с ть

/ —

во зра стаю щ а я

ф ун кц и я

на [а,

Ь]

и

s —

 

ф ун кци я

ска чко в .

П у с ть ,

далее, (х р ) —

счетное

сем ейство

точек

р азр ы в а ;

о б р ати м ся вновь

к определению ф ун кц и и s

(cp .

§

1,

п.

2) ;

п усть

 

 

 

 

 

и2р{х) = 0,

 

если

 

х е [а,

х р[,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и2р (х) =

f (Хр) — f ( x p — 0),

 

если

X е [хр, Ь\\

 

 

 

 

 

 

 

 

и 2р+1 М — °*

если

 

X е

[а,

хр],

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ы2Р+1 (х ) =

/ (х р +

0) — / (Хр),

 

если

X е

]х р,

Ь].

 

 

 

 

Смотрите также файлы