Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 145
Скачиваний: 0
64 |
ГЛ. И. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ |
А в силу б),
а • Ѳ = а • х Т а • (e' • х).
В силу (7) имеем
а • Ѳ = а • х 7' (ае') • х — а ■х Т (— а) • х,
а в силу (6)
а • 0 = (а + (— а)) • х = е • х.
Следовательно, учитывая б), получаем
а - 0 = 0, |
— произвольно. |
г) Допустим теперь, что а - х = Ѳ. Если а = е, то это верно в силу б).
Если а ф е, то а-1 существует. Тогда согласно в)
а-1 • (а • х) = а -1 -0 = 0.
Учитывая |
(7) и (8), получаем |
|
а -1 • (а • х) — (а-1а) • х = г - х — х. |
Следовательно, х = 0. |
|
Таким |
образом, равенство а-х = Ѳ влечет а = е или х — |
— 0. Это важное свойство может быть сформулировано сле
дующим |
образом: |
если |
а ф е , |
то равенство а-л: = 0 |
влечет |
|||||
X = 0; при этом е-х = 0 |
для всех х е £ ; |
если х ф Ѳ, то равенство |
||||||||
а-х = |
0 влечет а = е. |
|
|
|
|
|
|
|||
д) |
Рассмотрим |
теперь равенство а-х — ß-x и обозначим че |
||||||||
рез x' |
элемент, |
симметричный к х в £; тогда |
|
|
||||||
|
|
|
|
а • X Т (ß • х)' = Ѳ. |
|
|
||||
Но в силу б) |
(ß-x)' = |
e'-(ß - л:), что в силу (7) |
равно |
(e'ß)-*. |
||||||
А так как e'ß = |
—-ß, то |
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда |
|
|
(ß • *)' = |
(— ß) • X. |
|
|
||||
а • X Т (— ß) • х = |
Ѳ, |
(а + |
(— ß)) • х = |
Ѳ, |
|
|||||
|
|
|
||||||||
и в силу г) |
|
а + (— ß) = |
e, |
если |
х Ф Ѳ. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
Значит, |
элемент |
(— ß) |
симметричен к а относительно сложе |
|||||||
ния в К. |
Стало быть, ß — а (в силу единственности симметрич |
|||||||||
ного для элемента из К. |
См. раздел 1, § 6, теорема 1.). |
|
||||||||
Следовательно, любой элемент из Ё, отличный от 0, регуля |
||||||||||
рен относительно внешнего закона. |
|
|
|
|||||||
е) |
Рассмотрим теперь равенство а-х = a -у и предположим, |
|||||||||
что а ф е (если а — е, |
то а-х — а - г/ = Ѳ при любых х и у). |
|||||||||
4. ВНЕШНИЕ ЗАКОНЫ. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
ßg |
|
Снова имеем: |
|
|
а • X Т (а • у)' — Ѳ, |
|
|
а • я Т а • г/' = Ѳ |
(в силу б)), |
|
а - ( * Т У') = ® |
(в силу (5)), |
|
и согласно г), х Т у' = Ѳ. |
и, стало быть, у = х. |
|
Значит, у' симметричен х в Е, |
влечет |
|
Следовательно, если а ф е, то |
равенство а-х — а-у |
|
X = у.
Итак, любой элемент из К, отличный от нейтрального эле мента е относительно сложения в К, регулярен относительно внешнего закона.
Эти свойства позволяют нам упростить обозначения и вле кут за собой хорошо известные правила вычислений.
Закон Т (внутренний закон абелевой группы на Е), как и закон + на К, будет обозначаться знаком + .
Внешний закон • будет обозначаться мультипликативно, как и закон на К.
Элемент е, а также Ѳ, заменяется на 0. Однако это согла шение хотя и весьма удобное, требует предосторожности в неко торых вычислениях.
Но в качестве нейтрального элемента умножения в К мы со
храним е. Имеем г -f- е = |
2е; еп — е ( п > 0 — целое) |
и было |
бы опасно заменять е на 1, |
даже приняв, что символ 1 |
не пред |
ставляет собой единицу в N относительно умножения. |
К обла |
|
Итак, векторное пространство Е над телом (полем) |
||
гает следующими свойствами: |
|
|
Определения:
(!) (* + У ) + г — х + (у + г)\
(2)X + 0 == 0 + X = х;
(3)х + (— х) = 0;
(4)х + у = у + х)
(5)а (х + у) = ах + ау\
(6)(а + ß) X = ах + ßx;
(7)a(ßx) = (aß)x;
(8) e x = X.
В ы в о д и м ы е с в о й с т в а :
(9) 0х = 0 при любом х 1У, (10) а0 = 0 при любом а;
') Здесь мы должны сделать предостережение: в записи 0л = 0 стоя щий слева 0 есть элемент из К, а стоящий справа— элемент из £,
3 М. Заманский
66 |
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ |
(11) равенство |
ах = 0 влечет х = 0, если ОФ а, и а = 0, |
если X Ф О, |
|
(12) любой элемент из К и из Е, отличный от 0, регулярен относительно этого внешнего закона.
§3. Построение векторных пространств. Примеры
1.Тело (поле). Тело (поле) К является векторным простран ством над К. Множеством операторов служит само К-
Это означает (что, впрочем, мы уже отмечали), что мульти пликативный закон на К рассматривается одновременно и как внутренний, и как внешний.
2. Векторное пространство — произведение векторных |
про |
|||
странств. Пусть Е и F — два векторных пространства над одним |
||||
и тем же телом |
(полем) К. Будем |
обозначать |
элементы |
из Е |
через X, х', х\, ... |
, а элементы из |
F — через у, |
у', у\, ... |
Ука |
жем, как произведение Е X Е пространства Е на F может быть превращено в векторное пространство над К. Речь идет о на хождении соглашений, которые удовлетворяли бы восьми свой ствам определения. Начнем с определения внутреннего закона на Е X F. Существенно прежде всего условиться, что если г =
==(х, у), z' — (x', у') , то z = z' означает х — х' п у = у'.
Пусть 2 = (х,у), z ' — {х ',у ')— два элемента из E y F . По
ложим
z + z' = {x + x', у + у'),
что является |
элементом из |
E y F , поскольку |
х Ц ^ х '^ Е , |
у + у' е F. Положим |
(0, 0). |
|
|
|
О= |
|
|
Следовательно, |
в силу соглашения, принятого для |
равенства, |
|
(х, у) = 0 влечет х = 0, у — 0. |
Положим еще |
|
|
(— z) = (— X, — у).
Свойство (1) очевидно. Свойство (2) удовлетворяется в силу того, что, по определению z + z', имеем
z + 0 = (х + 0, у + 0) = (х, у) = 2
и
|
о + 2 = (0 + X, О + у) — (х, у) = Z. |
||
Свойство |
(3) верно в силу того, что, по определению 2 + z ’, |
||
имеем |
г + |
(— г) = |
(х — X, у — у) = (0, 0) = 0. |
|
|||
Наконец, |
|
|
|
г' + 2 = |
(x', у') + |
(х, у) = |
(x' + X, у' + у) = |
|
|
|
= (х + х', у + У') = 2 + г'. |
4. ВНЕШНИЕ ЗАКОНЫ. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
67 |
Определим на Е X Е внешний закон, положив |
|
|
||||||||||||
Тогда |
|
az = |
(си;, аг/) |
для |
а е і ( , |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(5) |
а (г + |
г ') = |
(а (х + |
* '), а (г/ - f |
г/')) = |
(ах + |
а х ', аг/ + |
ау') = |
||||||
|
= |
(ах, |
аг/) + |
(а х ', |
аг/') = |
а (х, |
г/) + а (х ', |
г/') = |
а 2 + |
а z'; |
||||
(6) |
(а - f ß) 2 = |
((а + ß) -V. |
(а + |
ß) у) = |
(ах + |
ßx, |
а у + ß//) = |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
(ах , |
а у) + |
(ßx,ߣ/) = |
а г + |
ß2; |
||
(7) |
а (ß2) = |
а (ßx, |
ß//) = (aßx, |
aßy) = |
(aß) г ; |
|
|
|
|
|||||
(8) |
ег = (ex, гу) = |
(x, |
у) — z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, наши соглашения превращают Е X F а век торное пространство над тем же телом (полем) К.
О б о б ще н и е . Расширение на произведение £i X £ 2 X •••
,.. X Еп векторных пространств над К очевидно.
1случай-. Е\ — Е2 = ... = Еп — К. Превратим Кп в вектор ное пространство над К, пользуясь предыдущим методом. Эле
мент г е Кп есть
г — (хи х2, .... х„), где хт <=К (т = 1, 2, ..., п).
Кроме того,
а г = (а х ,, а х 2........... |
а х п), 2 + z' = (х, + х(, . . . . хп + х'п). |
•
Но любой элемент х ^ К записывается в виде х= хе, где е — единица, т. е. нейтральный элемент относительно умножения. Следовательно, можно записать:
г — (хі>0, 0, |
... , |
0) -f- (0, |
х2, 0, . .. , |
0) + ... |
+ (0, 0, |
. . . , |
0, хп) — |
|||
= ( х 1е, 0, 0, |
. . . , |
0) -f- (О, |
х 2е, 0, |
. . •, |
0) |
-f- . . . |
-f- (0, 0 ........... О, |
xne) = |
||
= х {(е, 0, 0, |
. . . , |
0) + |
х2 (0, е, 0, |
. . . , |
0 |
) + . . . |
+ х „ ( 0 , |
0 ........... О, е), |
||
поскольку хтs |
К. |
|
|
|
|
|
|
из Кп, где |
||
Рассмотрим |
теперь п элементов eh е2, .... еп |
|||||||||
ет— элемент из Кт, |
у |
которого на |
всех |
местах, |
кроме т-го, |
|||||
с т о я т нули, |
а на т-м |
месте стоит е. |
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
х,е, + х2е2 + |
• • • + хпеп. |
|
|
||||
Таким образом, векторное пространство К определяется по средством п элементов е\, е2, ..., еп из Кп. Такое представление элемента z единственно для каждого г е / ( п в силу определения,
з*
68 |
ГЛ. И. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ |
данного для |
равенства z = z'. При п = 3 эта запись есть раз |
ложение свободного вектора по единичным векторам коорди натных осей.
2 |
случай: |
а) Пусть z |
есть |
счетная последовательность |
Х\, |
|||
х2, ..., Хп., ... |
элементов |
из |
К\ |
обозначим ее |
(xn) = z . Поло |
|||
жим |
z + z' — (xn + x'), |
0 = |
(0) |
(xn= 0<=K |
при |
любом |
я), |
|
az з= |
(aXn); z = z' означает |
xn |
= x'n при любом n. |
Множество |
||||
этих элементов z образует векторное пространство над К. Это именно то, что понимается под пространством последовательно стей (здесь имеется в виду последовательность в алгебраиче ском смысле).
б) Можно, в частности, рассматривать счетные последова тельности элементов из К, но такие, у которых все члены нули,
начиная с некоторого номера, зависящего от последовательно
сти-. z = (хи х2, ..., хп, 0, ...). Таким образом, каждый эле |
||
мент z составлен из конечного числа |
(или нуля) элементов, от |
|
личных от 0 ее К, но это |
число не |
ограничено для множества |
элементов z, тогда как в 1 |
случае оно было ^ п. |
|
Если принять те же соглашения, что и в предыдущем случае, |
||
то равенство z = z' будет означать, |
что хт = х'т при любом т |
|
и, значит, две последовательности, z и z', будут иметь одинако вое число отличных от 0 членов.
Множество этих последовательностей z образует векторное пространство над К.
Мы можем написать:
2 = (Мі 0, ... ) -(- (0, х2, 0, .. ,) + ...
... + (0, 0, . .. , хп........ О, ..
(что, вообще говоря, нельзя написать в а)). Отсюда следует, что если еп = (0, 0, ..., е, 0, . . . ) — последовательность, все члены которой нули, кроме п-ѵо, равного е, то снова имеет ме сто единственное представление
z = Х\ві + х2е2+ ... + хпеп.
Это векторное пространство определяется бесконечным счетным множеством элементов.
О б о з н а ч е н и е . Если рассматривается семейство элемен
тов |
(Хі) абелевой группы или векторного пространства, наде |
|
ленных индексами из некоторого семейства / |
индексов, так, |
|
что |
Х{ Ф 0 для конечного числа индексов і, то |
сумма этих х{ |
может, без опасности путаницы, обозначаться
і
3. Векторное подпространство. Пусть & — векторное про странство над телом (полем) К и Е — подмножество из <%. Рас смотрим на Е внутренний закон, индуцированный внутренним