Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

законом из <8, и внешний закон, индуцированный внешним за­ коном из <8, т. е. элементам х е Е, у е £ ставятся в соответ­ ствие элементы х + У и ах (когда они принадлежат £), полу­ ченные композицией элементов х, у из <8 по законам, введен­ ным в <8. Если эти законы превращают Е в векторное простран­ ство, над К, то Е называется векторным подпространством про­ странства <8.

Пр и м е р ы . 1) Для рассмотренных выше пространств Кр пространства Kq, при q ^ р, как легко видеть, являются под­ пространствами.

2)Рассмотрим п элементов Х\, х2, ..., хп пространства <8

где ат— произвольные элементы из К. Множество Е является подпространством пространства <8.

В самом деле, если

ПП

мающие лишь конечное число отличных от нуля значений, есть подпространство Е пространства S’; говорят, что Е порождено множеством А, или элементами этого множества.

4. Многочлены. Пусть К — коммутативное тело, т. е. поле.

Будем называть многочленом упорядоченную счетную последо­ вательность элементов из К, среди которых лишь конечное число отлично от нуля, и будем записывать

Л ==z(йд, й], $2> ' • • t Uri, • . •).

Для любого многочлена А имеем а* = 0 при k~ ^n , где п ^ О — целое число, зависящее от рассматриваемого многочлена А. Можно также сказать, что многочлен определяется отображе­ нием множества неотрицательных целых чисел в поле К, причем это отображение принимает лишь конечное число отличных от

А -f- В и который мы назовем суммой многочленов А и В. Этот внутренний закон, очевидно, ассоциативен и коммутативен. Мно­ гочлен Ѳ, у которого все коэффициенты — нули, является ней­ тральным элементом. Многочлен (—й0, —аи ..., —ah, ...), где (—йй) — элемент, симметричный к ah относительно сложения в К, симметричен к А относительно этого закона; мы будем

Эти законы превращают 3>в векторное пространство над К.

Р А З Д Е Л 5

ЗАКОНЫ И ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ ФУНКЦИЙ

С теоретической точки зрения этот раздел мало значителен. Но установление законов и отношений на множестве функций важно для дальнейшего. Поэтому мы будем опираться на при­ меры, заимствованные иногда из последующих глав.

Основная идея (которая уже встречалась в связи с последо­ вательностями и которую мы снова принимаем) состоит в том, что для функций, определенных на одном и том же множестве А и принимающих значения во множестве В, которое само наде­ лено отношением или законом, обозначаемым Т , можно часто определить закон, снова обозначаемый Т . Стало быть, речь

Соглашение. Если А есть множество, произвольный элемент которого обозначается t, а В есть множество, наделенное вну­ тренним законом Т , то для двух отображений х, у множества А во множество В через х Т у обозначается отображение t-*- -+x(t) т y(t), т. е.

Х Т У&( - >x(t )j y(t).

Если некоторые пары, элементов из В связаны бинарным от­

множество, наделенное отношением порядка, обозначаемым Если X и у —два отображения множества Л в В, то отношение X ^ у означает «x(t) ^ y(t) при любом t».

2)В есть множество, наделенное внутренним законом, обо­

Необходимо сделать следующие важные замечания.

а) Если В наделено внутренним законом Т , всюду опреде­ ленным, то есть композиция посредством этого закона возможна для любых элементов из В, то определено и отображение х Т у множества А во множество В.

Но если для множества Е функций, отображающих Л в В,

распространение закона Т на Е может и не быть внутренним законом на Е. И если на Е может быть определен внутренний закон путем распространения закона Т , то свойства закона Т на Е могут не совпадать со свойствами закона Т на В (ассо­ циативность, нейтральный элемент и т. д.).

72 ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

б) Если предположить, что на В задано отношение, напри­ мер, отношение порядка (даже линейного), то оно может не распространяться на пару х, у отображений А в В. Так, если В есть множество действительных чисел, то для заданного значе­

жение А в В и так как рассматриваются все отображения мно­ жества А в В.

2) Если речь идет о том, чтобы проверить, распространяется ли некоторое свойство закона Т на закон множества Е, то в каждом случае должны быть приняты предосторожности, хотя часто проверка бывает простой.

Так, если Т — ассоциативный закон, то закон Т на Е тоже ассоциативен, так как соотношение

(х (t) т У (0) Т z(t) = x (t) Т (У (t) Т 2 (0)

верно при любом t, и значит,

(х Т У) Т г = X т (У Т г).

Если речь идет о том, чтобы показать, что в Е всякий эле­ мент имеет симметричный, то следует принять необходимые соглашения. Если, например, В — аддитивная группа с ней­ тральным элементом 0, то 0 должно быть названо отображение, которое элементу ставит в соответствие 0 e .ß ; тогда полу­

Однако не следует думать, что сохраняются все свойства. Так, допустим, что B = R есть множество действительных чи­ сел, т. е. поле. Множество Е всех числовых функций на А (функции от t с действительными значениями) уже не будет полем, ибо если назвать нулем функцию, принимающую значе­ ние Ое і ? для всех t е А, то ненулевая функция может не иметь симметричной относительно умножения, перенесенного на Е, по­ скольку для некоторых значений t может оказаться

* (0 = 0 е R.

Этого примера достаточно для обоснования предосторожно­ стей даже в случаях, рассматриваемых как простые.