Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

3) Наибольшие трудности возникают тогда, когда рассма­ тривается множество не всех отображений множества А во мно­ жество В. Так, допустим, что А — топологическое пространство,

В == R. И пусть Е есть множество всех числовых функций, опре­ деленных и непрерывных на А. Сразу же видно, что Е образует абелеву группу относительно закона

х + у Ш^ > х ( і ) + у{().

щается в группу Рисса.

Но если взять в качестве А множество R действительных чи­ сел, а в качестве Е — множество всех полиномиальных функций, то Е уже не будет группой Рисса, ибо если х — многочлен, то |х | может им не быть.

ваются линейно независимыми, если из соотношения 2 ЩХі — 0, где а, — элементы поля К, равные нулю, за исключением, быть может, конечного числа индексов, следует, что оі = 0. В про­ тивном случае элементы (хг) называются линейно зависимыми.

Множество линейно независимых элементов называется ино­

элементов xt будет означать, что равенство

щхі + . . . + апхп = 0

влечет

(X) = 0І2 = ... = Ctn = 0 G К.,

2)Если равенство сцхі'+ 0 ,4 X2 + ••.’+ о,пхп — 0 может быть реализовано хотя бы с одним оі ф 0, то (х\) уже не являются линейно независимыми.

3)Множество элементов из 8, содержащее 0, не может 'быть множеством линейно независимых элементов, так как если

Хі = — 2i((*i/ai)xt;

иными словами, один из элементов Хі есть линейная комбина­ ция остальных п — 1 элементов.

Определение 3. Говорят, что семейство элементов вектор­ ного пространства S есть базис пространства S , если оно со­ стоит из линейно независимых элементов и если оно порож­ дает S’.

Если (Хі) есть базис пространства S , то для любого х е £

имеем х = 2 “;*г- Числа (а*) называются компонентами или

координатами элемента х в базисе (**). Эти компоненты един­ ственны для любого X, ибо если бы имелись другие, х ~ '^ і а'іхі

(где а'., как и а£, отличны от нуля для конечного числа индек­ сов), то мы имели бы

О = 2 (а, — аД xt\

а так как Х{ линейно независимы, то а, = аг

Нам встретятся многочисленные примеры базисов, и следую­ щий параграф будет посвящен конечномерным векторным про­ странствам. Векторное пространство многочленов представ­ ляет собой пример пространства, базис которого состоит из бесконечного числа элементов. Действительно, если обратиться к введенным ранее обозначениям (гл. II, раздел 4) и через еи обозначить многочлен, у которого ап = 0 при п ф k и а* = 1, то любой многочлен А запишется единственным способом в

состоящий из п элементов, то никакое множество р элементов из Е при р~р> п не может быть множеством линейно независи­ мых элементов.

Согласно 6) из предыдущего параграфа, можно предполо­

- щий из единственного элемента а\. Тогда никакие два элемента из Е не будут линейно независимы. В самом деле, пусть х\ = = £ійі, а х2 = l 2a1. Они могут быть линейно нёзависимы, только

78 ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

% не может равняться нулю, так как если бы К = 0, то непре­ менно одно из ат было бы ф 0, что невозможно в силу линей­

зис. Обратное очевидно.

Т е о р е м а 2. Если Е имеет некоторый базис из п элемен­ тов, то всякий другой базис состоит из п элементов.

Действительно, пусть b\, ... ,bp — какой-нибудь другой базис в Е. Тогда элементы bm линейно независимы; следовательно, по предыдущему следствию, р ^ п. Переставив местами bm и üjnу получаем п ^ р. Значит, п = р.

Это свойство позволяет ввести следующее определение.

Определение размерности. Если Е — векторное пространство с конечным базисом, то число элементов этого базиса назы­ вается размерностью пространства Е. Размерность обозначается dim Е.

Другое определение размерности. Рассмотрим в векторном пространстве Е все свободные системы. И пусть S — одна из таких систем, a k(S) —число составляющих ее элементов. Допу­

странства, то максимальное число линейно независимых среди этих элементов есть размерность пространства, порожденного элементами Х\.......хп.

З а м е ч а н и е 2. Если известно, что Е имеет размерность п, то любое множество из п линейно независимых элементов со­ ставляет базис.

З а м е ч а н и е 3. Если элементы а \,...,а п составляют базис пространства Е, то р элементов а\, ... , ар из них порождают подпространство Е' размерности р и образуют базис простран­

Е — пространство размерности п и пусть имеется р < п линейно независимых элементов из Е. Тогда к этим р элементам можно добавить п — р других элементов из Е так, чтобы получился ба­ зис пространства Е.

Действительно, пусть элементы аи ..., ар линейно незави-

-симы. Существует по крайней мере один такой элемент (обо­ значим его аѵ+і), что аи ,,,, ар, аР+і линейно независимы, кро-