Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 151

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

I. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

79

ме случая р = п. Ибо если бы это было не так, то по второму определению базиса элементы а\, ..., ар составляли бы базис пространства Е, и оно имело бы размерность р. Повторение этого рассуждения достаточное число раз доказывает теорему.

§3. Алгебры над полем

Впредыдущей главе излагались некоторые типы множеств, наделенных алгебраическими законами. Грубо говоря, можно утверждать, что рассмотрение на множестве Е только одного внутреннего закона привело к понятию группы; рассмотрение двух внутренних законов привело к понятию кольца или поля

(тела), а рассмотрение одного внутреннего закона и одного внешнего закона привело к понятию векторного пространства.

Алгебра над полем есть одновременно векторное простран­ ство над полем и кольцо. Более точно:

Определение. Алгебра с? над полем К есть множество эле­ ментов, наделенное аддитивным и мультипликативным зако­ нами, превращающими его в кольцо, а также внешним законом, который вместе с аддитивным законом превращает это множе­ ство в векторное пространство над К и обладает тем свойством, что для любых

а • (ху) — (ах) ■у — X ■(ау).

Пусть éf — алгебра; предположим, что векторное простран­ ство é? имеет базис (а,-). Тогда любой г е і ’ записывается един­ ственным образом в виде

X— 2 щщ.

 

Но так как <§— кольцо, то произведение

двух элементов

базиса, которое является элементом из <8, может быть записано в виде

 

а і а і — 2 b ik a k'

 

 

Пусть

 

k

 

 

X= 2 ахак,

у = 2

ЗдЯц.

 

 

 

Поскольку (8 — кольцо, имеем

 

 

 

ху = ( 2 « Л ) ( 2

) = 2

=

 

 

 

“ Й a " ß t i ( ^? *

а ‘ ) = ? ( Й

ük-

А так как компоненты элемента ху в базисе (а*) единственны, то они определяются компонентами элемента х, элемента у и величинами

80

ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

 

Таким образом,

как только известны

может быть най­

дено произведение ху двух заданных элементов х, у в <%. Но не произвольны, ибо в силу ассоциативности умножения в с? бу­ дет выполняться равенство

(ala,)ak =

ai {ajak),

которое влечет

 

2

2 = =

Теперь можно показать, что

если & — векторное простран­

ство, (а,) — его базис и ( |іді)— элементы из К, удовлетворяю­

щие последнему соотношению, то & становится алгеброй в том случае, если для

X =

СЕ(Й(,

у =

ßyßy

положить

х у = 2 1аißjhikük.

 

Формулы

Hk

 

 

 

 

 

 

— 2 і

%Hka k

 

k

 

 

составляют то, что называется таблицей умножения.

Пр и м е р. Среди многочисленных

примеров (поля, алгебры

квадратных матриц порядка п, алгебры числовых функций, определенных на множестве, алгебры непрерывных функций на топологическом пространстве,...) выберем пример многочленов (ср. гл. II, раздел 4, в конце).

Мы вкратце опишем умножение, которое в соединении с за­ конами векторного пространства превращает & в алгебру, при­ чем кольцо Ф будет к тому же коммутативным и унитарным.

Каждой паре (А, В) из двух многочленов мы поставим в со­

ответствие многочлен С =

(с0, сь ..., ск, ...)

вида

ck — akbo+

ak-\bi +

• • •

a+ 0bk.

Будем называть его произведением многочленов А и В и запи­

сывать

С = AB.

Определенное

так умножение

ассоциативно и

коммутативно.

Многочлен / =

(1,0,0,...), все

коэффициенты

которого равны нулю, кроме первого, равного 1,

есть нейтраль­

ный элемент относительно этого закона: І А — AI = А при лю­

бом

Это умножение вдвойне дистрибутивно относитель­

но сложения:

 

 

 

А {В + С) = AB + АС = (В + С) А

для любых А, В, С. Кроме того,

а (AB) = (ссЛ) В== А (аВ)

- для любых А, В, а.

 

 

1.

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

81

Найдем произведение еРед двух многочленов базиса. Пусть

ер =

(oto, аь •••, а р,

ар+і ...),

где ак = 0 при k ф р,

а а р= 1 ; и

пусть

=

(ßo, ßi,...),

где ßft =

0 при k ф q, a ßg =

1. Коэффи­

циент при

(к + 1)-м члене в произведении еред равен a*ßo + • • •

... -f- ccoßft;

он может быть отличен от нуля лишь в случае, если

эта сумма содержит a Pß?. Но каждый член суммы ccftßo + ...

... -f- aoßft представляет собой произведение элементов из К с

суммой индексов, равной k; значит,

a pß, может находиться толь­

ко в ( p ф q ф \ ) - ш коэффициенте;

отсюда следует, что отлич­

ным от нуля может быть только коэффициент произведения еред

при (р +

q + 1) -м члене. Этот коэффициент равен

 

 

^p+^ßo “I- • • • “Ь ®pß<7

• • •

~Ь ®oßp+A

^p ß p == !■

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

epeq ~

e qep =

ep+q‘

 

 

Из этого равенства, справедливого

при любых р, q, вытекает

ехе\ =

е2,

е\в\в\ = е3...;

вообще,

если положить

и = е\, то

вп =

и”,

где ип означает

n-ю степень элемента

и, т.

е. произве­

дение п элементов, равных и\ тогда всякий многочлен записы­ вается в виде А — öo + ахи + ... + апип, при условии, что во отождествляется с 1. Это и есть обычное (элементарное) обо­ значение, с точностью до того различия, что под и здесь пони­

мается не переменное, а специальный многочлен,

степени кото-

• рого порождают

 

 

что если для А имеем ар Ф 0 и

Отсюда

можно заключить,

op = 0 при k >

р, а для В имеем Ьд Ф 0 и Ьк — 0 при k > q, то

в произведении

С — AB

имеем

коэффициент

ср+д — арЬд и

Си = 0 при

k >

р + q, так

как

коэффициент

ск с номером

k 7^ р -f q +

1 может быть лишь коэффициентом при ек в разло­

жении С по базису с

pA-q-\-\, причем eh = eoek= e\eu-i= ...

А это требует, чтобы ск =

0 ( к ^

р ф q ф \).

 

Покажем теперь, что любой многочлен, отличный от Ѳ, регу­ лярен относительно умножения, т. е. равенство AB — АС влечет

В = С, если А ф Ѳ. Достаточно показать, что если AB = Ѳ, то один из многочленов А или В есть Ѳ. Допустим обратное. Тогда

при ар Ф 0

и flft = 0

(k > р), Ьд Ф 0 и bk — 0 (k > q)

коэффи­

циент при

(/?-f *7 +

1)-м члене в произведении AB

равен

арЬд ф 0.

Наконец, как мы знаем, ОД = Ѳ. Кроме того,

1-А=А,

/■А — А,

ѲА = АѲ =

Ѳ. Заменим также Ѳ на 0, а е0 =

/

на 1.

Исследуем вопрос о том, имеет ли многочлен А симметричный многочлен В относительно умножения. Пусть аѵ, bg— ненулевые коэффициенты наибольшего индекса соответственно в А и в В. Равенство AB = е0 требует, чтобы арЬдер+д = 0, т. е. р = q = 0.

Итак, А = а0ео, В = Ьйе0.

82

ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Постоянным многочленом, или постоянной, или константой,

называется многочлен, все коэффициенты которого, кроме, быть может, первого, равны нулю. Таким образом, только ненуле­ вые константы обладают симметричными.

Р А З Д Е Л 2

ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ

§ 1. Определения

Пусть Е и F — два векторных пространства над одним и тем же полем К. Линейным отображением пространства Е в F назы­ вается отображение f пространства Е в пространство F, удовле­ творяющее условиям

f(xl + x2)= f(xl) + f(x2), f (ах) — af (х)

при любых X, х\, х2 e f u a e К.

Если F = К, то линейное отображение пространства Е в К называется линейной формой на Е.

Если F — Е, то линейное отображение пространства Е в F, называется эндоморфизмом.

Заметим, что внутренние и внешние законы обозначаются для Е и F одними и теми же символами.

Понятие линейного отображения есть не что иное, как обоб­ щение элементарной функции, обозначаемой обычно как у — ах. Интуитивно можно утверждать, что линейное отображение про­ странства Е в пространство F переводит Е в F, устанавливая соответствие между их внутренними и внешними законами.

Отметим, что это определение не предполагает, что Е и F

имеют конечную размерность.

 

действительных чисел,

Пр и ме р .

Пусть

R — множество

(х,у) — элемент

из R2,

(X, Y,

Z) — элемент

из R3, причем R2 и

R3— векторные

пространства,

построенные

как в главе II, раз­

дел 4, § 3. Если обозначить буквами а, Ь, ...

заданные элементы

из R, то отображение R2 в R3, имеющее вид

 

X = ах + by,

У= а'х + b'y,

Z = а"х + Ь"у,

является линейным отображением.

§ 2. Операции над линейными отображениями

а) Рассмотрим множество всех линейных отображений про­ странства Е в F. Если f, g — два линейных отображения, то бу­ дем через f + g обозначать отображение, определяемое как

Смотрите также файлы