Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 160

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

2. л и н е й н ы е о т о б р а ж е н и я

97

вытекает,

что 7

определяется также

посредством

тождества

7 (ф(*)) =

ч>({{х) )

при любых ф б Р ,

а’е І Первое тождество

записывается как равенство между элементами из Е*, а вто­ рое— как равенство между элементами из К.

Доказательство следующих свойств

не представляет труда.

7 есть линейное отображение F* в Е*.

 

*(/ +

<?) — 7 + 7?> каковы бы ни были

линейные отображе­

ния /и

g пространства Е в F.

 

/(.

1 (а/) = а 7

для любого f и любого а е

 

= 7 °fg, где g — линейное отображение F в G.

Далее следует важный результат,

относящийся к / и к 7-

Те о р е ма .

Линейное

отображение

f пространства Е в F,

где Е и F — конечномерны, и его транспонированное 7 имеют

одинаковый ранг.

 

7 и рассмотрим фактор-

Положим для удобства записи g =

пространство

F*/g~l (0)

пространства

К*

по подпространству

g-1(0). Согласно теореме 3, § 6 F*/g~l (0)

изоморфно g(F*) —

= lf(F*), или, иными словами, ранг отображения 7 является размерностью факторпространства F*/g~1(0). Но (§ 5)

dim F*!g~x (0) — dim F* — dim g-' (0) = q — dim

(0)

(§ 7, теорема 1).

 

относитель­

С другой стороны, пусть 2Г— дополнение к f(E)

но F : F — f(E) -f

Имеем F* — (f (Е) )* -f- &"*. Предположим,

что f имеет ранг г и рассмотрим g"’(0), которое представляет

собой

множество тех

ф е Д

для

 

которых ^(ф) =

0, т. е.

7(ф)

=

0

(в Е*).

Но множество

тех

ф е Р ,

для

которых

7 ( ф ) = 0 е £ * ,

определяется

также

равенством

‘f((p(x))=0

( е /C)

для

любых

X <= Е, согласно

тождеству,

выведенному

при определении

7-

Но так как 7(ф(*))

= ф (/(*))>

т0

эти ф

таковы,

что при

любых х ^ Е

имеем

ср(7(лг)) = 0 .

Когда

х ме­

няется

в Е, y =

f(x)

меняется на

f(E);

поэтому

для любого

y ^ f ( E )

имеем ф(у)

=

0. Из § 7 вытекает, что множество всех

этих ф е Р

является сопряженным

к дополнению

 

простран­

ства f(E), т. е. изоморфно @~*. Но F* имеет размерность q, (f(E))* имеет размерность г, и в силу равенства F* = (f(Е))* + + ЗГ* имеем

dim = q — г — dim ^ -1 (0).

Так как

dim F*/g~l (0) = q — dim g “1(0) = q — (q — r) = r,

TO

dim f (F:) = r.

З а м е ч а н и е . Отметим, что доказательство этого резуль­ тата не требовало обращения к теории матриц и определителей.

4 М. Замаиский

98

ГЛ. Ш. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

§9. Линейные уравнения

Вэлементарных курсах изучают так называемые линейные уравнения. Когда говорят, например: «рассмотрим линейное

уравнение ах = Ь» или «систему линейных уравнений ах + by = = с, а'х + Ь'у = с'» или, еще, «линейное дифференциальное уравнение ay' + by == f (х)», то эти фразы и эта запись озна­ чают, что хотят, насколько это возможно, реализовать равен­ ство, рассматривая как известные некоторые величины и как неизвестные остальные. Знак = имеет совершенно не тот смысл, который ему придавался до сих пор; его смысл является услов­ ным, а его использование объясняется невозможностью беско­ нечно увеличивать количество символов.

С другой стороны, нетрудно заметить сходство между основ­ ными свойствами уравнений, приведенных в качестве примеров.

Так,

х —*ах определяет линейное отображение R в R; если паре

(х, у)

е R2 ставится

в соответствие

пара (x', y')

е R2, опреде­

ляемая равенствами

х' = ах + by, у

' = а'х + Ь'у,

то тем самым

определяется линейное отображение f плоскости R2 в R2, и си­ стема линейных уравнений ах + by — с, а'х + Ь'у = с' записы­ вается в виде одного уравнения f ( X ) — C, где Х — (х,у) и С = {с, с'). Напомним еще одно свойство, которое часто форму­ лируется следующим образом: если известно некоторое решение у0 уравнения ay' + by = f (х), то все решения получаются при­ бавлением к уо решений однородного уравнения ay' -{-by = 0; этот результат формулируется также и для первых двух

примеров.

Цель настоящего параграфа — привести в общем виде основ­ ные свойства уравнений, называемых линейными, и указать теоремы существования, не связанные с «эффективным вычис­

лением» решений.

1) Пусть Е и F —два векторных пространства над одним и тем же полем К, f — линейное отображение Е в F, рассматри­ ваемое как заданное, и уо —элемент из F, рассматриваемый как заданный. Уравнение

 

 

f(x) = y0

 

называется

линейным

уравнением,

х называется

неизвестным,

Ң х ) — левой

частью

уравнения, а

у0— правой

частью. Если

yo_ O e F, уравнение f(x ) = 0 называется однородным уравне­ нием (соответствующим уравнению f{x) — уо)- Если существует такое г е £ , что выполняется f(x) = у0, то х называется реше­ нием. Если уравнение не имеет решения, то говорят, что уравне­

ние несовместно.

Когда F = К, т. е. когда у0 есть скаляр, линейное уравнение - называется скалярным; это слово часто опускается.

2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

99

Мы будем рассматривать также системы линейных скаляр­

ных уравнений (в конечном

числе), т. е.

множество уравнений

fi(x) = ai

(1= 1,2, . . . .

q),

 

где fi — линейные формы на Е и щ е К.

Предыдущие

понятия

распространяются сами собой на системы.

Два уравнения или две системы или одно уравнение и одна система называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одинаковые решения (очевидно, пространство Е должно быть тем же самым для рассматриваемых систем или

уравнений).

Всякая система линейных скалярных уравнений эквивалент­ на одному линейному уравнению.

В самом деле, рассмотрим

систему fi{x) — сц ( / = 1, 2, ...

.... q) и отображение x-*f(x)

пространства Е в Kq:

x-*{fi(x), h(x), ... , fq(x)).

Легко видеть, что в силу определения внутреннего и внешнего законов на К4 (см. гл. II, раздел 4, § 3) и линейного характера форм fm отображение f есть линейное отображение Е в К4. Положим

Уо = («1, а2, .... aq)<=K4, f(x) = (fl (x), . .. , fq(x)).

Тогда, по определению равенства двух элементов из Kq, система эквивалентна уравнению f(x) — у0.

2) Рассмотрим однородное уравнение f(x) = 0 . Теоретически его решение просто: множество его решений есть множество тех

н е Я , образом которых в F при отображении f

является 0 g F.

Это множество было обозначено через f_1(0);

оно составляет

векторное подпространство пространства Е\

элемент 0 е £

всегда есть решение; это решение называется тривиальным.

П р е д л о ж е н и е I. Однородное линейное уравнение f(x) = = 0 имеет в качестве решений элементы подпространства f~l (0), которое всегда непусто.

Если

Е имеет размерность р, а / имеет ранг г

(^ .р и

^ q ) ,

то f~l (0)

имеет размерность р — г

(§7, теорема 2). Можно, сле­

довательно,

сказать,

что линейное уравнение

f(x) = 0

имеет

в качестве решения элементы пространства размерности

р — г.

Допустим теперь, что известно решение х0 уравнения f(x)

=

у0.

Значит,

f(x0) = уо, и

уравнение

записывается

в

виде f(x)

—

= f(x0).

Если X— решение, то

f(x — x0) — 0,

поскольку

f

ли­

нейно.

Следовательно,

х — х0е / _1(0),

что

означает,

 

что

X = хо +

Ху для любого Хі е /_1

(0). Отсюда:

 

решение

х0

П р е д л о ж е н и е

2.

Если

известно

некоторое

линейного

уравнения

f{x)=yo,

то все

решения

получаются

4*

too гл. іи . л и н е й н а я ал гебра

прибавлением к х0 всех решений х\ ассоциированного однород­ ного уравнения f(x) — 0.

Важной

является

проблема

единственности решения. Най­

дем прежде всего, при каких

условиях линейное

уравнение

f(x) = yQимеет не более

одного решения. Если хй и х'0— реше­

ния,

то f(x0) =

f(x'0),

а значит,

f(xQ~x ' Q) — 0 и

 

 

Если

ха ф х'0,

то х0— х'0 ф 0 s

Е, и f 1(0) содержит элемент,

отличный от 0. Следовательно,

если f(x) = y0

имеет два реше­

ния,

то / _1 (0) содержит элемент,

отличный

от 0,

и обратно.

Логическое

отрицание

приводит

к следующему

результату.

П р е д л о ж е н и е

3.

Для того

чтобы линейное

уравнение

f(x) = Уо имело не более одного решения, необходимо и доста­

точно, чтобы /_1(0)

= 0 .

ни было.

З а м е ч а н и е .

Если f_I (0) = 0, то каково бы

у е F, уравнение f

(х) = у имеет не более одного решения.

В 1) мы ввели линейные формы на Е. Следущим предложе­

нием вводится транспонированное отображение к f,

а в 3) мы

дадим этому элементарную интерпретацию.

 

П р е д л о ж е н и е 4. Если f есть линейное отображение Е в F и g = — его транспонированное, то для того чтобы уравнение f(x) — уо имело по крайней мере одно решение, необходимо и достаточно, чтобы ц>(уо) = 0 , каково бы ни было <peg_1(0).

Доказательство этого предложения проведем по типу пре­

дыдущих. Включение

cp eg _1(0)

означает, что */( ср)=0е £*,

т. е.

lf(cp(x)) =

0 е / (

при любом

 

Но, по определению *f,

tf(ф(х)) = ф(/Ч*)) для любого х(=Е. Следовательно, cp(f(x:))

=

= 0, каково бы ни было х е Е,

или

ф(у) — 0, каково

бы

ни

было

y ^ f ( E ) .

Обратно, если

при

любом y ^ f ( E )

элемент

Фe f *

обладает тем свойством, что ф(у) = 0, то фе^-ДС^.В са­

мом деле, равенство tp(y)

= 0 при любом y ^ f ( E )

эквивалентно

равенству ф(/Ч*)) =

0 при любом х е

Е, а

значит, *Ң(р(х)) =

= 0 при любом j ë

£,

и стало быть,

(Дф)

= 0,

что означает

Ф <= g ~ l ( 0 ) .

Итак, имеет место логическая эквивалентность:

(ре g_1 (0)4Фф(г/) = 0, каково бы ни было y ^ f ( E ) .

 

е

Этот результат

влечет,

что если yo<=f(E),

то для любого

Ф

gr1(0)

f

имеем ф

(г/о)

=

0, т. е.

 

 

(0).

 

у0е

 

 

0,

каково бы ни было ф е § "

 

 

 

 

(E)=}q>(y0) =

 

=

 

Мы докажем, что, обратно, если у0е

F таково, что ф(г/о) =

 

0 для любого ф е^г'ІО ),

то y0<~f\E),

или,

еще, если y0^ F

таково, что всякая форма ф, обращающаяся в нуль на f(E),

обращается

в нуль в у0, то y0^ f ( E ) . Докажем более общий

результат.

Пусть F\ — подпространство пространства F,

Смотрите также файлы