Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

dim f“1(0) = dim Е — dim f (E).

Пусть (aft) — базис в Е,

р р

Так как f(E) имеет размерность г и порождается элементами f(an), то максимальное число линейно независимых f{an) рав­ но г (раздел 1, § 2, теорема 2, замечание 1). Допустим, к при­ меру, что /(йі), •••, f{ar) линейно независимы. Тогда

из Е линейно независимы, ибо, предположив обратное, мы сразу же получили бы, что (ап) не будут линейно независимы. Тем самым доказан результат, который мы формулируем следую­

94 ГЛ. Ш. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

линейно независимы. Это означает, что (<рт ) есть базис про­ странства Е*, и стало быть Е* имеет размерность р.

Пусть теперь Е, и Е2— два взаимно дополнительных под­ пространства пространства Е, т. е. Е = Е1+ Е2. Всякая линей­ ная форма на Е{ может рассматриваться *) как линейная форма

из Е*, то равенство ф, = ф2 возможно лишь в случае Фі = ф2 = 0. Следовательно, Е\ и El взаимно дополнительны. Итак,

£* = £! + El.

Наконец, покажем, что если Е — Е\ -\-Е2, то множество всех тех ф е Р , для которых ф( хі ) = 0 при любом Х\ е Ей может быть отождествлено с £ * , сопряженным к дополнению подпро­ странства Е\. В самом деле, ф е £ * определяется как

р

X—>2 ^mim.

где £т — координаты элемента х в базисе (ат ) пространства £, причем аи ..., аг— базис пространства Еи а аТ+\...... р — базис

с подпространством Е*'. Это определение зависит от выбора пространства E%t дополнительного к Ей

Обратно, такая форма принимает значение 0 для х е Е Ѵ Таким образом, все ф получаются заданием %т всех возможных значе­ ний. Так как мы получаем все элементы из Е\, задавая рт

в выражении

р

% 2 >2Е' У-nÂin

г+1

все возможные значения, то отсюда заключаем, что это множе­ ство форм ф может быть отождествлено с E t

§ 8. Транспонирование линейного отображения

Чтобы сделать последующие определения более оправдан­ ными, мы предпошлем им рассмотрение некоторых деталей.

Пусть / —линейное отображение пространства Е в F. В при­ нятых ранее обозначениях, имеем

Легко видеть, что прямоугольная таблица из ар*, представляющая собой матрицу из q строк и р столбцов, определяет посредством предыдущих формул отображение f; компоненты a Ift, а 2й, ...

а qh элемента f(ah) определяют k-іл вектор-столбец, а мак­ симальное число линейно независимых вектор-столбцов в точ­ ности равно рангу отображения f, т. е. размерности простран­ ства f(E). Из этой матрицы получаем транспонированную ма­ трицу заменой в предыдущей таблице aik строк на столбцы; это будет матрица из р строк и q столбцов, которая определяет ли­ нейное отображение ^-мерного пространства в р-мерное. Можно было бы, следовательно, пытаться рассматривать это последнее отображение как отображение пространства F в Е. Далее объ­ ясняется, почему его рассматривают как отображение простран­ ства F* в Е*. Мы определили композицию линейных отображе­ ний, частный случай которой представляет собой композиция линейного отображения / пространства Е в F на линейную фор­ му ф на F (т. е. линейное отображение пространства F в поле К). Исследуем этот частный случай.

Формулы (2) выводятся из (1), если рассмотреть именно транс­ понированную матрицу. Поэтому отображение ф—>-ф°/ про­ странства F* в Е* будет называться транспонированным к f.

пространства Е в F. Транспонированным к f называется ото- бражение пространства F* в Е*, которое каждой линейной фор­ ме ф на F ставит в соответствие линейную форму ф° f на Е.

Транспонированное к f отобраокение обозначается *f.

Из этого определения вытекает, что {f определяется тожде­ ством ‘/(ф) = ф °f при любом ф е £ * . Но если обозначить че­ рез *f((p(x)) значение в К отображения lf, то из предыдущего тождества и из определения равенства двух линейных форм