Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

симы по теореме 2 предыдущего параграфа. Значит, Е имеет размерность р ^ ц. Поменяв местами Е и F, получаем q ^ р и, следовательно, р = q.

З а м е ч а н и е . Если предположить, что Е и F имеют одина­ ковую размерность и что f есть линейное отображение Е на F, то теорема 1 показывает, что f есть изоморфизм Е на F.

Т е о р е м а 3. Два векторных пространства Е и F над одним и тем же полем К, имеющие одинаковую размерность п, изо­ морфны между собой и изоморфны Кп.

Покажем, что можно определить линейное отображение f

из F. Очевидно, что f есть линейное отображение Е в F, перево­ дящее базис (ат ) в базис (Ьт). Если теперь взять F = Кп, то получится вторая часть теоремы.

Отметим, что можно было бы провести доказательство для Е

то Кт и Кп не изоморфны.

З а м е ч а н и е . Если Е одномерно, то его эндоморфизм имеет вид х —*ах (гомотетия), так как х — \а, f(x) = If (а) и так как f(a) е Е, f(a) = Ха; отсюда f(x) = Х\а — Хх.

§ 5. Прямая сумма. Факторпространство

Прямая сумма. Пусть Е — векторное пространство размерно­ сти р над полем К, (cth) — базис в Е. Для любого * е £ пишем

гР

Элементы au .... ar образуют базис подпространства Ei про­ странства E, а элементы ar+i........ар — базис подпространства

очевидно, что эта запись единственна. На этом основании гово­ рят, что Е — прямая сумма Ех и Е2 и пишут Е = Ех Е2. Гово­ рят также, что Е2 дополнительно к Ех (подразумевается: отно­

роны, линейные комбинации векторов аг+х........ар не принад­ лежат Е1, поскольку любая часть множества ах, . .., ар обра­ зована линейно независимыми элементами.

Следовательно, подпространство Е2 , порожденное элемен­ тами аг+ь ..., ар, которые образуют его базис, дополнительно к Еі.

Наконец, покажем, что, обратно, если два подпространства Ех р Е2 пространства Е таковы, что их объединение порождает Е, а их пересечение сводится к нулю, то любой элемент і е £ мо­ жет быть записан в виде х = х х+ х2 , х\ е Ех, х2 е Е2 единствен­ ным способом. В самом деле, если дополнить базис ах........ат пространства Ех элементами аг+і........ар так, чтобы ат+\, ...

..., ар образовывали базис пространства Е2, то ах, .... ар бу­ дут составлять базис пространства Е, поскольку Ех и Е2 имеют только один нулевой общий элемент. Рассматривая хх как эле­ мент, принадлежащий Е (т. е. последние р — г координат равны нулю), и х2 — как элемент, принадлежащий Е, получаем х = == Х\ -f- х2.

Факторпространство. Пусть теперь А — подпространство про­ странства Е. Между двумя элементами х, х' из Е установим следующее отношение Я:

х Я х '^ х — / ё А

Это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, а ста­ ло быть, является отношением эквивалентности. Вместо обозна­ чения Е/Я для фактормножества принято обозначение E/A. Можно установить на E/A структуру векторного пространства над К. Так, двум элементам из E/A, которые являются классами эквивалентности по Я элементов і е £ и х' е Е, ставится в со­ ответствие класс элемента (лг + х'), и т. д. Это допускает

90 ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

нительного к А подпространства, и алгебраические законы на этом дополнительном подпространстве, которое является под­ пространством пространства Е, определяют законы на E/A и превращают его в векторное пространство. Мы сформулируем эти понятия и результаты следующим образом.

Если А есть подпространство пространства Е, то E/A назы­ вается факторпространством пространства Е по Л; E/A изо­ морфно подпространству, дополнительному к А или (эквива­ лентная формулировка)

dim E/A = dim Е — dim А.

Пример . Приведем геометрический пример, использующий элементарное понятие свободного вектора. Пусть OU, ОѴ и OW —три вектора, образующие невырожденный триэдр. И пусть

.А — пространство, состоящее из свободных векторов плоскости OUV. Дополнением является множество свободных векторов, несомых OW-, и если через Е обозначено все пространство, то E/A образовано элементами, один из которых представляет со-

бой множество свободных векторов ОМ', обладающих тем свой­ ством, что если задан вектор ОМ, то свободный вектор М'М при­

Ор, определяемым пересечением носителя вектора OW с пло­ скостью, параллельной OUV. Пространство E/A изоморфно мно­ жеству векторов, несомых OW. Пространство Е имеет размер­ ность 3, А имеет размерность 2, а E/A — размерность 3 — 2 = 1,

§6. Ранг линейного отображения

Вэтом и в следующем параграфах мы изложим некоторые свойства ранга линейного отображения. Имеются в виду все еще конечномерные пространства. Ранг отображения / есть

то f о ф, линейное отображение G в F, имеет тот же ранг, что и /.

Эти результаты дополняют теорему 4 § 3.

Более того, если заметить, что р-мерное подпространство р-мерного пространства Е тождественно Е, то можно сформули­

Отметим, с одной стороны, что в силу замечания к теореме 2, § 4, если ранг отображения / равен р, т. е. если размерность пространства f(E) равна размерности пространства Е, то / есть изоморфизм Е в F (или на F), и обратно; с другой стороны, если ранг отображения / равен размерности q пространства F, то / есть отображение Е на F, и обратно.

Рассмотрим теперь /-1 (0). Это есть множество тех х е Е, для которых f(x) = 0 e F . Оно составляет подпространство про­ странства Е. Пусть г — ранг отображения /, а р — размерность